Raisonnement par recurrence

par **PetitePounette** » 05 Sep 2007, 15:53

Bonjour, je viens de voir cette leçon ce matin, et j'ai un exercice à faire dessus.
Je pensais avoir bien saisi, mais voilà que l'excercice me eprturbe un peu :

( le signe > signifira supérieur ou egale tout au long de l'excercie)

Il faut démontrer par recurrence que pour tout entier naturel n,
(1+a)^n > 1 + na

Donc j'ai commencer à verifier pour n = 0, ce qui fonctionne, je passe ensuite au coter héréditaire (et c'est là que je bloque) :

(1+a)^n = (1+a)(1+a)^n
1+(n+1)a = 1 + na + a

Je ne vois pas bien comment continuer, quelqu'un pourrait-il me donner un indice svp ?

par **Pouick** » 05 Sep 2007, 15:59

et bien par hypothese de recurrence , tu sais que (1+a)^n > 1+na
donc tu remplaces puis tu vas voir aparaitre quelquechose de sempblant a 1+na+a

par **rene38** » 05 Sep 2007, 16:03

Bonjour
Pour l'hérédité, on suppose (hypothèse de récurrence) que pour une certaine valeur de

,

et on veut montrer que

N'oublie pas ce que tu as oublié dans l'énoncé que a est un réel positif.

par **PetitePounette** » 05 Sep 2007, 16:14

exacte je l'ai oublier ^^

Mais je vois pas trop en quoi ça m'avance de remplacer :

(1+a)(1+a)^n > 1+na +a ...

Parce que, en faite j'ai même la correction dans mon livre, mais je la comprends pas non plus, et c'est justement cette étape où je suis plus

par **Pouick** » 05 Sep 2007, 16:26

(1+a)^(n+1) = (1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na) = 1+na+a+na²

par **PetitePounette** » 05 Sep 2007, 16:31

Oué ... :mur:
Je vois pas comment tu trouve ça : (1+a)(1+na) ?

dure la rentée

par **lapras** » 05 Sep 2007, 17:01

c'est l'inégalité de bernouilli non ?
elle est admise en première
1+na+a+na² = 1+a(n+1)+na² >= 1+(n+1)a

par **Pouick** » 05 Sep 2007, 17:08

Dans ton hypothese de recurence.. tu supposes que (1+a)^n > 1+na

par **Joker62** » 05 Sep 2007, 17:24

En fait la récurrence, c'est une grande échelle :)
On vérifie qu'on peut monter avec le premier barreau
Et on cherche à montrer que même si on est en plein milieu de l'échelle, on peut quand même monter d'un barreau

(Bon avouer qu'elle est belle mon image ?)

Donc là tu as montrer que c'est vrai au rang n=0, (T'es sur le premier barreau on va dire)

Ensuite, comme par magie t'arrive en plein milieu, et donc tu supposes que c'est vrai pour le rang n, donc tu sais déjà que (1+a)^n > 1+na

Maintenant, tu dois vérifier que si tu as cette propriété pour le rang n, alors tu l'auras forcément pour le rang n+1
Donc tu dois démontrer comme dit ci-dessus que (1+a)^(n+1) > 1+(n+1)a

On part alors de (1+a)^(n+1)
On sait que c'est égale à (1+a)(1+a)^n

Or, d'après l'hypothèse de récurrence, on sait que (1+a)^n > 1+na
Donc on peut écrire

(1+a)^(n+1) = (1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na) (Ne pas oublier de prendre en compte que a > 0)
Voilà je te laisse finir de majorer, d'arriver au résultat et de finir ta récurrence

par **lapras** » 05 Sep 2007, 17:26

Joker, il me semble que c'est un axiome, nan ?
Ca serait bien qu'on essaye de le démontrer (même si apperement cette propriété de récurrence tient du "bon sens") :ptdr:

par **Joker62** » 05 Sep 2007, 17:30

C'est quoi qui est axiomatique ???
Le raisonnement par récurrence ???

Pourtant ça se démontre :)

par **lapras** » 05 Sep 2007, 17:31

Oui le raisonnement par récurrence, selon mon cour de terminale sur Xmaths, est un axiome.
Ils utilisent l'image de "l'échelle".
Mais je vais essayer de le démontrer puisque tu me dis que c'est possible :)
A bientot :we:

par **Joker62** » 05 Sep 2007, 17:44

En fait, c'est plus logique qu'axiomatique on va dire.

Soit P(n) une propriété vérifiant P(n0) vraie et pour un n donné P(n) vraie => P(n+1) vraie.

Soit E = { n N | P(n) soit fausse }
Supposons E non vide, E étant une partie de N, il possède un plus petit élément que l'on note n_0

Ainsi n_0 - 1 n'appartient pas à E
Donc P(n_0 - 1) est vraie
Or on a P(n) vraie => P(n+1) vraie, donc P(n_0-1) vraie => P(n_0) vraie
Absurde

Conclusion E est vide

Edit : L'escalier est moins casse gueule qu'une échelle quand même :)
Au moins ça nous tient à coeur que cette propriété tombe pas comme une vieille chaussette

par **lapras** » 05 Sep 2007, 17:46

Oué c'est tres logique.
:++:
La récurrence c'est un principe formidable

par **PetitePounette** » 05 Sep 2007, 18:21

Oué ben j'abandonne, jarrive toujours pas a comprendre malgrè vos explications simples, c'est juste l'étape là que j'arrive pas, tempi

Merci quand même.

par **PetitePounette** » 05 Sep 2007, 19:02

lapras a écrit:c'est l'inégalité de bernouilli non ?
elle est admise en première
1+na+a+na² = 1+a(n+1)+na² >= 1+(n+1)a

Juste avant que j'abandonne definitivement, tu pourrai developper l'explication stp ?
Et est ce que ton ">=" signifie supérieur ou egale ou ya une faute de frappe ?

par **Joker62** » 05 Sep 2007, 19:13

Non c'est bien supérieur ou égale.

par **PetitePounette** » 05 Sep 2007, 19:22

erf

Mais je comprends pas d'où o nle sort le "1+na+a+na²", parce que je vois rien qui est égale à ça, c'est ça mon problème

par **Joker62** » 05 Sep 2007, 19:26

(1+a)^(n+1) = (1+a)(1+a)^n

Or (1+a)^n >= 1+na

Donc

(1+a)^(n+1) = (1+a)(1+a)^n > (1+a)(1+na) = 1 + na + a + na² = 1+(n+1)a + na² > 1 + (n+1)a

On s'est juste servi du fait que si b > c alors ab > ac ( avec a positif )

par **PetitePounette** » 09 Sep 2007, 14:35

ça y'est j'ai compris !!!

En faite, (1+a)^(n+1) = (1+a)^n(1+a) >= (1+na)(1+a) parce qu'on multiplie des deux cotés par (1+a) ^^ :id:

Raisonnement par recurrence

Raisonnement par recurrence

Qui est en ligne