Deja une question en prépa ECS1 !

[Benco]

Bonjour tout le monde, je viens de rentrer et comme l'indique le sujet j'ai deja un soucis en maths, le voici :

Soit n élément de N*
On suppose qu'il existe deux couples (An,Bn) et (Cn,Dn) d'entiers naturels tels que (1+racine2)^n=An+racine(2)Bn=Cn+racine(2)Dn, montrer que An=Cn et Bn=Dn. Le couple (An, Bn) est donc unique.

Merci d'avance pour l'aide que vous me fournirez pour ce probleme sur lequel je bloque deja !

(Il faut utiliser la récurence!)

[Pavel]

Salut
Tu peux développer par le binôme :

An = la somme des puissances paires de racine de 2 = Cn

et Bn = somme des puissances impaires de racine de 2 = Dn

Voila. Je pense que ce suffit

[Benco]

Merci de ton aide précieuse je regarde ca et je repost demain si je n'y arrive !

[Benco]

J'ai essayé de voir ce que tu voulais dire par le binome mais je ne vois pas !
Ma prof m'a dit de me servir de la récurrence pour cette exo ...

[yos]

Non : la formule du binôme ne ferait que prouver l'existence de et , alors qu'ici on veut l'unicité. Il te faut considèrer l'égalité
.
Si , que peut-on dire de ?

Nota. La récurrence est une autre façon de prouver l'existence de et , mais pas l'unicité.

[fahr451]

je dirais même plus la récurrence est le bon moyen pour les construire "explicitement"

car dans un cas on a une formule "inservable" qui change complètement à chaque rang

dans l'autre cas on a une relation de récurrence simple qui permet de calculer en un coup de boulier électronique de proche en proche un grand nombre de termes.
(rem on retrouve ce problème d'une formule inutilisable dans de nombreux cas d'analyse numériques où l'on préférera un calcul approché par d'autres méthodes)

[Benco]

Désolé mais je ne comprends pas trop ce que vous dites...
Ca ne marche pas avec la récurrence ?
C'est bizarre car ma prof m'a dit d'essayer avec.
Mais merci.

[fahr451]

bien sûr (ter) que la récurrence permet de prouver L EXISTENCE

ta question initiale porte sur l UNICITE

[Benco]

D'accord et encore désolé...