Decomposition en elements simples

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 09:55

Bonjour,

j'ai un exo où il faut décomposer une fonction en elements simples. Or j'ignore comment procéder.

J'ai lu qq cours sur internet, mais je ne comprends pas la méthode.

Est ce que quelqu'un pourrait m'expliquer comment faire une décomposition.

Merci.

par **fahr451** » 06 Sep 2007, 10:14

bonjour

donne donc l'exemple précis

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 10:31

fahr451 a écrit:bonjour

donne donc l'exemple précis

un = 1/ sqrt( n*(n+1)*(n+2) )

Merci

par **fahr451** » 06 Sep 2007, 10:53

la racine fait que ce n'est pas une fraction rationnelle donc pas de décomposition en éléments simples

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 11:33

fahr451 a écrit:la racine fait que ce n'est pas une fraction rationnelle donc pas de décomposition en éléments simples

oui excuse moi, il n'y a pas de racine...

en fait le but de l'exo c de montrer que un est convergente,

et ensuite decomposer un^2 en elements simples.

donc il faut decomposer :

un^2 = 1/ (n*(n+1)*(n+2))

Desolé

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 11:41

Rain' a écrit:1/ (n(n+1)(n+2)) = a/n + b/(n+1) + c/(n+2)

Le but c'est de trouver a,b,c.

Le plus rapide pour trouver a, c'est de multiplier les deux côtés de l'égalité par n et d'évaluer en n=0.

Et c'est à peu près la même chose pour b et c.

J'ai pas trop compris la methode, peux tu me montrer comment faire sur un exemple STP.

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 11:51

Rain' a écrit:1/ (n(n+1)(n+2)) = a/n + b/(n+1) + c/(n+2)

donc

1/ ((n+1)(n+2)) = a + b*n/(n+1) + c*n/(n+2)

et si je pose n=0 j'obtiens

1/(1*2) = a + 0 + 0

donc a = 1/2

Maintenant pour b suffit de multiplier par n+1 et de poser n= -1.

Ok merci Rain' !

je crois que j'ai compris, en fait il faut toujours ramener le terme à 0 .

Merci

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 11:58

juve1897 a écrit:Ok merci Rain' !

je crois que j'ai compris, en fait il faut toujours ramener le terme à 0 .

Merci

J4ai trouvé

1/x*x+1*x+2 = 1/2x - 1/x+1 + 1/2(x+2)

Est ce que c'est juste?

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 12:32

Rain' a écrit:Exact.

Pour vérifier tu peux toujours mettre au même dénominateur et vérifier que c'est la même chose.

Merci beaucoup

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 12:38

Une petite question:

Combien fait: 1/2 Sum * 1/n - Sum 1/ n+1 + 1/2 Sum 1/n+2

Moi j'ai trouvé 1/n+2

Est ce juste.

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 12:55

Rain' a écrit:Elles vont de où à où tes sommes ?

C'est télescopique donc par un changement d'indice ça se simplifie.

ben je sais pas y'a ecrit calculer Sum (un)^2 avec n>= 1

avec un= 1/ sqrt(n*n+1*n+2)

comme nous avons decomposé un^2 tout à l'heure je me suis servis du resultat pour calculer la somme.

Donc pour repondre à ta question je ne sais pas de où à où.

par **Bouchra** » 06 Sep 2007, 13:20

Salut,

La somme est jusqu'à l'infini alors.
une autre méthode ici http://maths-forum.com/showthread.php?t=21212

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 13:40

Bouchra a écrit:Salut,

La somme est jusqu'à l'infini alors.
une autre méthode ici http://maths-forum.com/showthread.php?t=21212

Merci, c'est exactement le mm probleme que moi. Mis à part que moi l'exo me demande de me servir de la decomposition

De plus je me suis servis du telescopage non ???

En recalculant ma somme je me suis rendu compte que j'ai perdu en route des elements

donc apres recalcule je trouve:

Sum un^2 = - 1/ (n+2)(n+1)

Est ce que c'est juste ou pas?

par **Bouchra** » 06 Sep 2007, 13:54

juve1897 a écrit:De plus je me suis servis du telescopage non ???

Oui, c'est juste que dans la méthode que j'ai donné, le téléscopage est plus évident. Par exemple pour généraliser, c'est plus simple.

donc apres recalcule je trouve:

Sum un^2 = - 1/ (n+2)(n+1)

Est ce que c'est juste ou pas?

Il manque encore quelque-chose ..

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 13:57

Bouchra a écrit:Oui, c'est juste que dans la méthode que j'ai donné, le téléscopage est plus évident. Par exemple pour généraliser, c'est plus simple.

Il manque encore quelque-chose ..

franchement je vois pas quoi ???

de plus je viens de me rendre compte que la somme va de 1 à n car c'est une serie Numerique.

Peux tu me dire ce qu'il manque.

par **Bouchra** » 06 Sep 2007, 14:43

Moi je trouve :

d'où :

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 14:54

Bouchra a écrit:Moi je trouve :

d'où :

Comment as tu fais ???

par **Bouchra** » 06 Sep 2007, 15:42

Je l'ai fait avec l'autre méthode qui donne le téléscopage direct.

Sinon, ta somme s'écrit

ce qui donne (1/2)(1+1/2)-(1/2+1/(n+1))+(1/2)(1/(n+1)+1/(n+2)) = ...

par **juve1897** » 06 Sep 2007, 15:47

Bouchra a écrit:Je l'ai fait avec l'autre méthode qui donne le téléscopage direct.

Sinon, ta somme s'écrit

ce qui donne (1/2)(1+1/2)-(1/2+1/(n+1))+(1/2)(1/(n+1)+1/(n+2)) = ...

excuse moi je suis peut etre lourde, mais je n'ai pas compris comment tu aboutis à ce resultat.

:briques:

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