Développement limité et fonctions réciproques

[musmus]

bonjour tout le monde!!
j'ai besoin d'aide pour 2 problèmes que je n'ai pas compris.

alors voila, tout d'abord j'ai une fonction f(x)=(exp(x)-1)/x qui est reliée à la fonction sh(x) par la relation (1/2)(f(x)+f(-x))=sh(x)/x. le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de x=0 de f(x) est f(x)=1+(x/2)+(x^2/6)+(x^3/24)+o(x^3). il faut que je déduise de ce développement limité le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de x=0 de sh(x)/x... :mur: je ne sais pas du tout comment faire alors si quelqu'un a une idée elle serait la bienvenue!!

me deuxième question concerne les fonctions réciproques.j'ai une fonction définie par f(x)=exp(x)-x. f1 est la restriction de f à l'intervalle [0;+infini[ et f2 la restriction de f à l'intervalle ]-infini;0]. il faut que je trouve l'expression des fonctions réciproques g1 et g2. j'ai trouvé g1(x)=ln(2x), est-ce que je me suis trompée? et je trouve la même expression pour g2 mais je sais que c'est impossible... j'éspère que vous pourrez m'aider! merci d'avance!

[Nightmare]

Re bonjour,

pour la première question l'énoncé te donne tout !

(1/2)(f(x)+f(-x))=sh(x)/x

Donc sh(x)=x/2*(f(x)+f(-x))

Tu remplaces f(x) et f(-x) par leur DL et c'est réglé !

[musmus]

merci, par contre pour le DL de f(-x) est-ce que exp(-x)=exp(x) parce que c'est ce que je trouve, et est-ce que finalement f(-x)=-f(x) ?

[Nightmare]

Hein?

f(x)=1+(x/2)+(x^2/6)+(x^3/24)+o(x^3)

donc f(-x)=1-x/2+x²/6-x^3/24+o(x^3) tout simplement.

[musmus]

:ptdr: lol, merci, je crois qu'à force de me casser la tête je n'arrive plus à rien.. et tu n'aurais pas une idée pour mon deuxième problème?

[Nightmare]

Il me semble que ta fonction n'a pas de réciproque usuelle, es-tu sûr de l'énoncé?

[musmus]

en fait j'ai sauté une étape, il fallait que je prouve l'existence de ces fonctions réciproques avant de trouver leurs expressions, et j'ai réussi à prouver leur existence mais je me suis peut-être trompé... si elles n'existent pas, pourrais-tu m'expliquer pourquoi? en tout cas j'ai un doute pour g2 par contre il me semble que je ne me suis pas trompé pour g1

[Nightmare]

elles existent mais ne sont pas exprimables en nombre fini de fonctions usuelles.

[musmus]

mais je pense que g2 existe parce que dans les questions suivantes, il faut que j'établisse son tableau de variation et ensuite que j'exprime une autre fonction à partir de f1, f2, g1 et g2...

[musmus]

ok... donc g1 n'est pas égale à ln(2x)? mais comment je peux faire sans avoir leurs expressions pour établir leurs tableaux de variations?

[Nightmare]

Bon par exemple...

g1 est à valeur dans [0;+oo[ (puisque f1 est définie sur [0;+oo[).

Or :


Or, comme , donc g1' est positive et finalement g1 est croissante.

[musmus]

donc g1(x) n'est pas égale à ln(2x)???

et dans la question suivante on me demande d'exprimer la fonction y(x) au moyen des fonctions f1,f2,g1 et g2 suivant le signe de x, sachant que pour tout x différent de 0, on note y(x) le nombre réel z distinct de x tel que f(z)=f(x) en posant y(0)=0. mais sans avoir les expressions de g1 et g2 comment faire??
:mur: :mur: :mur:

[quinto]

Bein remplace g1(x) par ln(2x), tu verras bien ...

[musmus]

ok merci.. je suis désolée de vous posez toutes ces questions mais c'est des choses que je n'ai jamais faites donc j'ai beaucoup de mal...
vous n'auriez pas par hasard une piste pour ma deuxième question en ce qui concerne l'expression de y(x)???

[fahr451]

y(x) est défini par y(x) différent de x et

f(y(x)) = f(x)

donc pour x >0

y(x) <0 et f2(y(x)) = f1(x) soit

y(x) = g2 (f1(x) )

pour x <0 similaire

[musmus]

je n'ai rien compris...pourquoi y(x)<0 pour x>0?

[fahr451]

y(x) a même image que x par f

la courbe de f indique que les points ayant même image sont de signe opposé

[musmus]

ok j'ai compris merci beaucoup!!