Module z+1 = module 1/z

par **evilangelium** » 29 Aoû 2005, 16:54

Bonjour

Pourriez-vous m'aider à résoudre cette équation:
|z+1| = |1/z| avec z C

J'ai déjà trouvé quatres solutions mais je doute que ma méthode soit rigoureuse.

On suppose z R, l'équation se ramène à du second degré réel. On trouve z = (V5-1)/2 ou z = -(V5+1)/2
On suppose z U soit z = e^ix et l'on trouve z = e^(2i*pi/3) ou z = e^(-2i*pi/3)

Merci d'avance de votre aide.

par **phenomene** » 29 Aoû 2005, 18:23

Peut-être que quelque chose m'échappe, mais je ne vois pas de solution analytique simple. L'équation peut se réécrire :

(dont

n'est pas solution).
Cela équivaut à l'existence de

tel qu'on ait :

.
Cette équation du second degré a pour discriminant

et a donc deux solutions.
Plus précisément, pour toute valeur de

, les solutions correspondantes sont

et

, où

désigne l'une des racines carrées de

.

par **phenomene** » 29 Aoû 2005, 18:32

P.-S. : On sait que tout nombre complexe non nul

possède deux racines carrées opposées

et

, qu'on peut expliciter, mais l'expression obtenue ici ne sera pas jolie jolie, sauf pour des valeurs particulières de

comme

ou

, qui doivent redonner tes solutions réelles ou de module un (je n'ai pas vérifié tes calculs).

par **evilangelium** » 29 Aoû 2005, 18:51

phenomene a écrit: (dont n'est pas solution).
Cela équivaut à l'existence de tel qu'on ait :

Je tente de comprendre mais je bloque pour passer d'une équation en module à une équation complexe.
Pourriez-vous approfondir ce passage s'il-vous-plait ?

(sinon, tout le reste est compréhensible)

par **Galt** » 29 Aoû 2005, 18:54

Le module de

étant égal à 1, on peut le mettre sous la forme

pour un certain

par **phenomene** » 29 Aoû 2005, 18:57

Un complexe

est de module un si et seulement s'il existe

tel que

. On applique cela dans notre situation à

.

P.-S. : N'hésite pas à me dire "tu" plutôt que "vous" ; sur internet, je trouve ça plus convivial, et puis ici, nous sommes tous égaux. :++:

Edit : Mon message fait doublon avec celui de Galt, une fois de plus mon petit cerveau a été trop lent ! :--:

par **phenomene** » 30 Aoû 2005, 15:03

Un moment de désuvrement ? Une envie furieuse de taper une formule compliquée avec

? Je ne sais pas pourquoi je l'ai fait, mais j'ai explicité les solutions. Tous calculs faits, on trouve que l'ensemble des solutions de l'équation

est :

.

Pour

et

, on retrouve les solutions particulières données par evilangelium. On a d'autres solutions dont l'expression algébrique est assez simple, obtenues pour

:

,

et

. Mais pour les autres valeurs de

, ça n'a pas l'air très appétissant. :doh:

par **phenomene** » 30 Aoû 2005, 16:20

Bon, je ne sais pas pourquoi j'ai gardé ce paramétrage débile par

, c'est quand même nettement plus joli en posant

. L'ensemble des solutions s'écrit alors :

,
ce qui est déjà plus lisible !

Eh oui je m'amuse tout seul... :dingue2:

par **evilangelium** » 30 Aoû 2005, 16:34

Et la

en facteur ? :lol5:

Vous (tu, si vous insistez) êtes prof dans quel lycée, si ce n'est pas indiscret à quelques jours de la rentrée ?

edit: en refaisant les calculs,

est dans la racine, mea culpa

par **phenomene** » 30 Aoû 2005, 16:48

Je suis en effet nul en calcul, c'est un miracle si ce que j'ai fait est juste :lol2: ; et pourtant, ça en a l'air !

Je suis prof dans un lycée des Hauts-de-Seine pas spécialement connu ni prestigieux (mais néanmoins agréable) ; je n'en dis pas plus en public, comme ça je pourrai continuer à écrire des bêtises ici sans être reconnu. :lol3:

Module z+1 = module 1/z

module z+1 = module 1/z

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