Sous groupes d'un groupe cyclique

[murray]

bonsoir,

je voudrais savoir si les sous-groupes d'un groupe cyclique sont eux-mêmes cycliques.

Merci pour votre aide.

M.

[kazeriahm]

il me semble bien que oui

cherche sur wikipédia pour une démo

[ulmo]

Bonsoir,
Un groupe cyclique est un groupe généré par un unique élément nilpotent (c'est donc un groupe fini).
Autrement dit, si est un groupe généré par nilpotent d'ordre , il est constitué des éléments avec .

Or tout élément de différent de l'élément neutre suffit à générer tout entier.
Donc les seuls sous-groupes de sont les sous-groupes dits triviaux ,soit et , qui sont eux mêmes bien sûr cycliques.

[kazeriahm]

salut

bah non c'est faux parce que dans (Z/nZ,+) avec n non premier, si p est un entier non premier avec n, alors la classe de p n'engendre pas Z/nZ tout entier

[fahr451]

bonsoir

un groupe cyclique d'ordre n admet pour tout d diviseur de n un unique sous groupe d'ordre d ( qui est cyclique)

[ulmo]

euh ... en effet.

Mon cas ne fonctionne alors que si est premier

[kazeriahm]

bonsoir

un groupe cyclique d'ordre n admet pour tout d diviseur de n un unique sous groupe d'ordre d ( qui est cyclique)

that's it! et les sous groupes de G ont pour cardinal un diviseur de n donc ils sont tous cycliques

[murray]

OK c'est bien ce que je pensais. Merci à tous pour votre contribution