Module z+1 = module 1/z
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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evilangelium
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par evilangelium » 29 Aoû 2005, 17:54
Bonjour
Pourriez-vous m'aider à résoudre cette équation:
|z+1| = |1/z| avec z C
J'ai déjà trouvé quatres solutions mais je doute que ma méthode soit rigoureuse.
On suppose z R, l'équation se ramène à du second degré réel. On trouve z = (V5-1)/2 ou z = -(V5+1)/2
On suppose z U soit z = e^ix et l'on trouve z = e^(2i*pi/3) ou z = e^(-2i*pi/3)
Merci d'avance de votre aide.
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phenomene
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par phenomene » 29 Aoû 2005, 19:23
Peut-être que quelque chose m'échappe, mais je ne vois pas de solution analytique simple. L'équation peut se réécrire :
(dont
n'est pas solution).
Cela équivaut à l'existence de
tel qu'on ait :
.
Cette équation du second degré a pour discriminant
et a donc deux solutions.
Plus précisément, pour toute valeur de
, les solutions correspondantes sont
et
, où
désigne l'une des racines carrées de
.
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phenomene
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par phenomene » 29 Aoû 2005, 19:32
P.-S. : On sait que tout nombre complexe non nul
possède deux racines carrées opposées
et
, qu'on peut expliciter, mais l'expression obtenue ici ne sera pas jolie jolie, sauf pour des valeurs particulières de
comme
ou
, qui doivent redonner tes solutions réelles ou de module un (je n'ai pas vérifié tes calculs).
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evilangelium
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par evilangelium » 29 Aoû 2005, 19:51
phenomene a écrit: (dont
n'est pas solution).
Cela équivaut à l'existence de
tel qu'on ait :
Je tente de comprendre mais je bloque pour passer d'une équation en module à une équation complexe.
Pourriez-vous approfondir ce passage s'il-vous-plait ?
(sinon, tout le reste est compréhensible)
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Galt
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par Galt » 29 Aoû 2005, 19:54
Le module de
étant égal à 1, on peut le mettre sous la forme
pour un certain
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phenomene
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par phenomene » 29 Aoû 2005, 19:57
Un complexe
est de module un si et seulement s'il existe
tel que
. On applique cela dans notre situation à
.
P.-S. : N'hésite pas à me dire "tu" plutôt que "vous" ; sur internet, je trouve ça plus convivial, et puis ici, nous sommes tous égaux. :++:
Edit : Mon message fait doublon avec celui de Galt, une fois de plus mon petit cerveau a été trop lent ! :--:
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phenomene
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par phenomene » 30 Aoû 2005, 16:03
Un moment de désuvrement ? Une envie furieuse de taper une formule compliquée avec
? Je ne sais pas pourquoi je l'ai fait, mais j'ai explicité les solutions. Tous calculs faits, on trouve que l'ensemble des solutions de l'équation
est :
.
Pour
et
, on retrouve les solutions particulières données par evilangelium. On a d'autres solutions dont l'expression algébrique est assez simple, obtenues pour
:
,
,
et
. Mais pour les autres valeurs de
, ça n'a pas l'air très appétissant. :doh:
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phenomene
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par phenomene » 30 Aoû 2005, 17:20
Bon, je ne sais pas pourquoi j'ai gardé ce paramétrage débile par
, c'est quand même nettement plus joli en posant
. L'ensemble des solutions s'écrit alors :
,
ce qui est déjà plus lisible !
Eh oui je m'amuse tout seul... :dingue2:
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evilangelium
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par evilangelium » 30 Aoû 2005, 17:34
Et la
en facteur ? :lol5:
Vous (tu, si vous insistez) êtes prof dans quel lycée, si ce n'est pas indiscret à quelques jours de la rentrée ?
edit: en refaisant les calculs,
est dans la racine, mea culpa
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phenomene
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par phenomene » 30 Aoû 2005, 17:48
Je suis en effet nul en calcul, c'est un miracle si ce que j'ai fait est juste :lol2: ; et pourtant, ça en a l'air !
Je suis prof dans un lycée des Hauts-de-Seine pas spécialement connu ni prestigieux (mais néanmoins agréable) ; je n'en dis pas plus en public, comme ça je pourrai continuer à écrire des bêtises ici sans être reconnu. :lol3:
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