Théorie des corps ?

par **kazeriahm** » 20 Aoû 2007, 19:43

bonjour

je me pose une question, qui peut etre peut sembler naive, inutile ou non constructive, je la pose quand meme :

le polynome X^2+1 n'a pas de racines réelles et ce qui (je suppute) nous a amenés à développer l'étude (ou la création c'est comme on veut) du corps des complexes. Il y a t il un moyen de se représenter cette insuffisance du corps des réels ? (il n'est pas algébriquement clos, soit, tout carré est positif dans R, certes, mais de manière plus "intrinsèque" ?!)

De manière générale, comment peut-on distinguer un corps qui serait algèbriquement clos d'un autre ? (sans retour à la définition)

J'éspère que je me fais comprendre

par **achille** » 20 Aoû 2007, 19:51

comment plus intrinsèquement ? clos c'est clos c'est à dire dont on peut résoudre toute équation sans recours à des nombres de dehors :ptdr: sinon sérieusement tu peux préciser ?

par **Edrukel** » 20 Aoû 2007, 19:58

http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_alg%C3%A9briquement_clos

par **kazeriahm** » 20 Aoû 2007, 20:10

a vrai dire je sais pas trop ce que je cherche, je suppose juste que ca a pas mal intrigué à l'époque et que la réponse aux éventuels questionnements que ca amène n'est pas tombée directement...

en fait j'aimerai bien une explication non formelle de ce qui se passe.

Dans C tout polynome de degré supérieur à 1 admet au moins une racine, c'est faux dans R.

Pourquoi ? R est blond et C est brun ? les réels sont méchants et les imaginaires purs sont gentils ?

sinon tant pis...

par **Mohamed** » 20 Aoû 2007, 20:24

pourquoi ? R est blond et C est brun ? les réels sont méchants et les imaginaires purs sont gentils ?

sinon tant pis...

lol..les maths ca progresse tjrs..sinon la complexité des complexes l'a remportée devant la réalité des réels...!! :ptdr:

par **kazeriahm** » 20 Aoû 2007, 20:24

il se pêut aussi qu'il n'y ait pas à ch*** et que je me tape un gros délire

par **bruce.ml** » 20 Aoû 2007, 20:57

Je trouve ça assez intrinseque moi la definition que j'en ai :P
Mais je comprends ce que tu veux dire, enfin je pense. Et je pense qu'il n'y a pas plus simple en effet ...

par **Imod** » 20 Aoû 2007, 22:43

Il me semble ( et c'est heureusement souvent le cas ) que la terminologie "algébriquement clos" est plutôt bien choisie . En partant des rationnels , une clôture analytique serait l'ensemble des réels et une clôture algébrique

, et

la quasi-panacée , clôture algébrique et analytique : il ne lui manque que la compacité !

Imod

par **achille** » 20 Aoû 2007, 22:48

en effet je pourrai envisager la chose comme étant la progression d'une nécessité, nécessité d'entreprendre une construction de plus en plus satisfaisante, et qui donc ne devrait donc répondre à tous nos besoin, au premier lieu il fallait "résoudre" des équations, après que l'on a épuisé tout le terrain de R, on a chercher dans les cieux de C, et les constructions ne s'arrêteront jamais autant que l'humanité ne tombe dans le même délire que le tien mon ami :ptdr: je sais pas si c'est ce genre de truc que tu veux entendre, alors ? :hein:

par **Imod** » 20 Aoû 2007, 23:42

Je ne faisais que répondre au message initial mais rien ne t'empêche d'y voir autre chose !

Imod

par **nuage** » 21 Aoû 2007, 01:22

achille a écrit:en effet je pourrai envisager la chose comme étant la progression d'une nécessité, nécessité d'entreprendre une construction de plus en plus satisfaisante, et qui donc ne devrait donc répondre à tous nos besoin, au premier lieu il fallait "résoudre" des équations, après que l'on a épuisé tout le terrain de R, on a chercher dans les cieux de C, et les constructions ne s'arrêteront jamais autant que l'humanité ne tombe dans le même délire que le tien mon ami :ptdr: je sais pas si c'est ce genre de truc que tu veux entendre, alors ? :hein:

Je crois que la progression s'arrête à

:
Toutes les équations ne comportant que des opérations élémentaires (additions, multiplications, soustractions, divisions) sont résolubles. Et on a le théorème des valeurs intermédiaires (ça c'est

).
Et on ne va pas plus loin.
Il n'y a plus de nécessités internes à des extensions.

Ce qui na pas arrêté Hamilton.

par **kazeriahm** » 21 Aoû 2007, 01:58

ok oouai c'est vrai j'adhére ouai

par **Yipee** » 22 Aoû 2007, 17:33

Quand tu as un corps on peut se poser deux questions : est-il clos algébriquement ? est-il complet (clos analytiquement) si tu as une topologie.

C'est ainsi que partant de Q (qui est le plus petit corps de caractéristique 0) on obtient R (par complétion) puis C (clôture algébrique). Mais là, C est tout ce que l'on veut et donc on s'arrête.

Si tu prends non plus la distance "infinie" mais la distance p-adique sur Q, tu peux procéder de même : on obtient alors

(par completion) puis

(par clôture algébrique). Mais là se pose un problème car

n'est plus complet !!! On le recomplète donc pour obtenir

qui lui a tout ce que l'on veut.

par **kazeriahm** » 22 Aoû 2007, 18:10

c'est quoi cette histoire de distance p-adique? c'est pas l'écriture d'un entier en base p ? mais pour un rationnel ?

par **Yipee** » 22 Aoû 2007, 22:43

Sur Q il y a la norme infinie qui est la norme "classique". Mais si p est un nombre premier on peut aussi définir la norme p-adique (et pour le coup on a alors toutes les normes). Pour cela on définit d'abord la valuation p-adique. Pour un entier c'est simple, c'est l'exposant de p dans la décomposition en nombre premier. Ensuite pour un rationnel r=a/b on pose v(r) = v(a)-v(b). On peut alors définir la norme p-adique par

En gros, plus un nombre est divisible par p, plus il est petit.

Mais je crois que l'on s'écarte un peu du sujet non ?

par **kazeriahm** » 23 Aoû 2007, 12:09

bah j'en sais rien moi mais pour parler de Qp il faut bien parler de sa construction ?

tu sais ou je peux trouver de la doc la dessus ?

par **Lierre Aeripz** » 23 Aoû 2007, 12:52

Désolé, je n'ai pas tout lu le fil. Cependant voici un élément historique qui j'espère va t'éclairer.
La résolution systématique des équation du second et du troisième degré ont amené à la construction du corps des complexes, où l'on posait que i est une racine carrée de l'unité. Ce n'était pas tellement plus formalisé. On n'appelait nombre imaginaire toute racine non réelle d'un polynôme donné.
La question se posait alors en ces termes : Tous les nombres imaginaires sont-ils complexes ?
Gauss a été le premier à donner une réponse rigoureuse.
Si la réponse avait été négative, on aurait sons doute créé un nouveau corps à partir de 1, i et d'un imaginaire non complexe, puis on aurait regardé si ce nouveau corps contient tout les imaginaires.

par **kazeriahm** » 23 Aoû 2007, 13:01

ah bon, pourtant c'est D'Alembert qui a prouvé que C était algè_briquement clos isn't it ?

je me demande aussi deux choses mais on s'éloigne surement un peu du sujet :

1) on ne peut trouver de corps K contenant R qui serait un R-ev de dimension 3 ai-je entendu dire... est-ce vrai ? il y a til une demo simple de ce théorème ?

2) le corps des quaternions contient R et C, est un R-ev de dim 4. Quelle est son "utilité" (i mean comment a-t-on été amené à l'étudier ?) puisque comme l'a dit Yipee R est complet et C est clos et complet.

Il y a t-il des surcorps de R de dimension supérieurs à 4 ?

par **Lierre Aeripz** » 23 Aoû 2007, 16:50

Ce n'est pas Gauss qui a eu l'intuition du résultat, mais c'est Gauss qui a donné la première preuve complète et rigoureuse.

Pour la première question, effectivement, il y a impossibilité, moyennant peut-être quelques hypothèses supplémentaires, et la démonstration est simple, mais je ne la connais pas :).

Pour la seconde question, les quaternions n'ont plus grand intérèt. Il sont un joli exemple de corps non commutatif, et en enlevant la partie réelle des quaternions, ils ont permis de mettre la main sur le produit vectoriel tel qu'on le connait. Les quaternions sont utilisé en informatique, par ceux qui font de la programmation 3D, à l'instar des complexes dans le plan. Mais surtout, ce qui à fait perdre aux quaternions leur intérèts, c'est qui peuvent être vu comme un anneau de matrices 2x2.

par **Yipee** » 23 Aoû 2007, 17:09

Il faut faire attention. Dans l'étude des extensions de corps on regarde les corps commutatifs. De ce fait comme C est algébriquement clos, il n'y a pas d'extension finie de C. Mais il y a des extensions infinies (C(X) par exemple).

Pour ce qui est de H le corps des quaternions. Je crois me souvenir qu'il est très utile en physique (et un peu en arithmétique - voir le sujet de l'ENS de cette année)

Théorie des corps ?

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