Exercice sur la Récurrence

[Sociopath]

Coucou tout le monde :we:

Bien, je me suis penché sur l'exercice et j'ai pas réussi à trouver les solutions. Pourriez-vous m'aider un peu ?

Le voici :

On considère la suite (U'n')'n' appartenant à N (étoile) définie par U'1' = 1 et pour tout entier non nul, U'n+1' = f(U'n').

1°) Prouver que pour tout entier non nul k, on a f(1/k) ;) 1/(k+1)

2°) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n ;) 1, on a 0 < U'n' ;) 1/n

3°) En déduire que la suite (U'n')'n' appartenant à N (étoile) est convergente et donner sa limite.

4°) Etudier la monotonie de la suite (U'n')'n' appartenant à N (étoile)

Allez, allez merci de bien vouloir me répondre :happy2:

( juste quand je mets des ' ' ça signifie en 'indice' )

[rene38]

Bonjour

Il serait plus facile de t'aider si tu voulais bien dire ce qu'est f ...

[lapras]

Salut,
Pourquoi avoir mis des ' ?(c'est pour savoir au cas où j'aurais loupé une notation)
EDIT : j'avais pas vu ta remarque, désolé...

[Sociopath]

Erf ah oui pardon,

F(x) = x / ( x²+x+1 )

Désolé :euh:

Et les ' c'est pour indiquer lorsque c'est en indice.

[lapras]

Est ce que k est un entier appartenant à N* ou à Z*??

[Sociopath]

Ce n'est pas précisé, mais je pense que c'est R* parce que sinon ça serait trop simple ^^
Enfin quoique non, enfin je ne sais pas... :triste:

Erf

[lapras]

Ok on va dire que c'est sur IR*
tu calcul f(1/x) = x/(1+x+x²) (sauf erreur !
or 1+x+x² >= 1+x donc x/(1+x+x²) <= 1/(1+x) donc f(1/x)<=1/(x+1)

Voila pour le 1)

La propriété :"pour tout entier naturel n ;) 1, on a 0 < Un ;) 1/n" est vraie au rang 1.
Preuve :
U1 = 1 <= 1/1
Au rang 2 aussi c'est vraie :
U2 = f(U1) = f(1) = 1/3
donc U2 <= 1/2
Démontrons que cette propriété est vraie au rang n+1 (hérédité) :

On sait que
Un<=1/n

On a démontré que f(1/n)<= 1/(n+1)
comme Un <= 1/n, alors f(Un)<= 1/(n+1) donc Un+1 <= 1/(n+1)
Comme Un appartient à N*, alors 0< Un+1 <= 1/(n+1)
(car a fonction f est croissante, je peux te le démontrer grâce aux dérivées)
CQFD... La propriété est vraie pour tout n appartenant à N*


3)
On sait que U1<= 1, que U2<=1/3, que U3 <= 1/4, que U5 <= 1/5 .....
Pour n -> +OO , alors lim (1/n)=0
x->+OO

D'apres le théoreme des gendrames et d'apres le fait que 0

Je te fais tout de suite la monotonie

[lapras]

Monotonie :
Calcul de Un+1 - Un :
Un+1 - Un = Un/(Un²+Un+1) - Un = Un(1/(Un²+Un+1)-1) < 0
(tu le démontre grace au fait que Un>0 donc Un²+Un+1>1 donc 1/(Un²+Un+1)-1 < 0)
donc Un strictement décroissante !
:++:
Je ne sais âs si tout ce que j'ai avancé est vrai, j'aimerais vérification. :hein:

[Sociopath]

Ouah :++:

Merci beaucoup lapras, je comprends déjà mieux l'exos.

Bon, je regarderai ça de plus près plus tard encore merci :salut:

[lapras]

You're welcome, si t'as encore besoin d'aide je suis là ! :we:

[rene38]

Bonjour

Pensez à lire les énoncés :

1°) Prouver que pour tout entier non nul k, on a f(1/k) 1/(k+1)

Est ce que k est un entier appartenant à N* ou à Z*??
on va dire que c'est sur IR*

Il s'agit bien de sinon 1/(k+1) n'existe pas.

1+x+x² >= 1+x donc x/(1+x+x²) <= 1/(1+x)

Tu es sûr ?

1°) Le plus simple est de vérifier que
pour tout , f(1/k) - 1/(k+1) 0

[lapras]

Comme toujours, je lis trop vite les consignes...
Et en plus je fais des étourderies !
désolé Sociopath...
f(1/x) - 1/(x+1) = x/(x²+x+1) - 1/(x+1) = (x(x+1) - x²-x-1)/((x²+x+1)(x+1)) = -1/((x²+x+1)(x+1))
Comme x appartient à N*, alors (x²+x+1)(x+1) > 0 donc f(1/x) - 1/(x+1) <=0
pour tout x appartenant à N*.

Voila, j'essaye de réparer mon étourderie :marteau: