Le problème ayant été résolu avec brio, on pourrait s'en tenir là, mais j'ai envie de pousser mon idée jusqu'au bout, et de montrer que les idéaux à gauche (resp. à droite) de L(E) sont principaux. Je rappelle que E est de dimension finie (en dimension infinie, j'ai bien peur qu'il y ait des idéaux plus sophistiqués...un exemple serait le bienvenu, si le coeur vous en dit...).
Supposons donc que I est un idéal à gauche de L(E), et appelons F l'intersection des noyaux des éléments de I. Puisque nous sommes en dimension finie, F est déjà l'intersection d'un nombre fini de ces noyaux(*). Je veux montrer qu'en fait F est l'un de ces noyaux. A cette fin, je prouve qu'une intersection F=
, où f1 et f2 sont deux éléments de I, est le noyau d'un élément de I : une récurrence terminera la preuve. Je m'intéresse donc à l'ensemble des endomorphismes f1 +qf2, quand q décrit le corps K (ah oui, au fait, je suppose aussi que K est infini). C'est bien le diable si aucun d'entre eux n'a pour noyau F exactement (**)! or ces endomorphismes sont tous dans I, j'ai donc trouvé un f0 dans I tel que ker(f0)=F. I est alors l'ensemble des f de L(E) dont le noyau contient celui de f0, c'est à dire (***) l'ensemble des g.f0, quand g décrit L(E).
Un passage au dual montre que les idéaux à droite sont bien ceux qu'on pense, et pour répondre à la question des idéaux bilatères, il suffit de voir que l'équivalence "pour tout f de L(E), Kerf contient F ssi Imf est contenue dans G" n'est possible que si F={0} ou E. (****)
Vous aurez remarqué que je me suis habilement abstenu de prouver certains faits (marqués par des astérisques), tantôt par flemme, tantôt par une malhonnêteté qui m'est caractéristique. J'explique :
(*) première malhonnêteté : je n'arrive pas à prouver correctement le lemme suivant : si E est un espace vectoriel de dimension finie, l'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces est égale à l'intersection d'un nombre fini d'entre eux. (j'espère que c'est vrai...). Si le corps est R ou C, le fait que la boule unité est compacte n'y est peut-être pas complètement étranger...bref, j'appelle à l'aide.
(**)deuxième malhonnêteté : j'ai envie de considérer la restriction de f1+qf2 à un supplémentaire G de F (sur lequel les restrictions de f1 et f2 ont des noyaux qui ne se rencontrent qu'en {0} ), et de regarder de près le polynôme en q det(f1+qf2), lequel ne peut pas avoir une infinité de racines...si ses coeff ne sont pas tous nuls (ça serait bien contrariant...). En gros, j'aimerais démontrer le lemme suivant :
si f et g sont deux endomorphismes de E dont les noyaux sont en somme directe, il existe un élément q du corps infini K tel que f1+qf2 soit inversible.
(***)ça, c'est de la flemme. C'est bien connu.
(****)ça, c'est encore de la flemme.
Si vous avez des idées pour me sortir de cette situation intolérable, lâchez-vous...
:briques:
à bientôt