EDP 1D, solution stationnaire ?

[S@N-SaYaN M@n]

EDP Bürgers 1D

Salut,
Je résous numériquement l'EDP de Bürgers, hyperbolique non linéaire du 1er ordre unidimensionnelle, visqueuse, non homogène (avec second membre), par une méthode de différence finie, schéma Runge-Kutta, sans stockage à trois pas (Jameson–Schmidt–Turkel JST). , pour u(x,t)
Cette équation peut être vue physiquement comme un modèle simple (Navier-Stokes 1D), d'écoulement turbulent

ut+u.ux-v.uxx=ut+(u²/2)x-v.uxx=2ndMembre(u)
sur [x0,x1] t>t0
avec u(x,t0)=u0(x) condition initiale
u(x0,t)=ue condition de bord

ut dérivée première de u en tps
ux dérivée première de u en espace
(u²/2)x dérivée première du carré de u en espace
uxx dérivée seconde de u en espace
v viscosité

Forme du 2nd membre
2ndMembre(u)=a1.u.abs(u) avec a1 réel

Or quelque soit la condition initiale u0, la solution converge vers un état stationnaire. Ma question est de savoir s'il existe véritablement une solution stationnaire à ce problème transitoire (ou si j'ai mal programmé). ET dans le cas où la réponse est positive, des indications sur la méthode à employer pour le prouver ou des références qui me permettrait de le montrer (par exemple par une méthode de point fixe, mais je ne vois pas très bien comment l'appliquer).

J'ai le même genre de difficulté avec l'équation de transport (il s'établit aussi un régime permanent):
ct+u.cx-v.cxx=b1.c.abs(c)
c concentration scalaire
u vitesse d'advection
b1 réel
v viscosité


En vous remerciant pour vos explications,
Cordialement,
S@N-SaYaN

[sept-épées]

je suis incapable de t'aider, mais je veux bien, si c'est possible, que tu m'envoies ton programme Runge-Kutta, j'aimerais le voir à l'oeuvre...