Limites compréhension

par **J-R** » 29 Juil 2007, 19:16

Bonjour,

je me suis intéressé aux limites et j'ai des problèmes pour la mise en application.

Je prend un problème tout simple: démontrer que

j'ai la définition:

en fait je dois prouver que si

alors il existe un réel A tel que pour tout x de

mais A est il fixé ?

Avez vous des conseils en général pour les limites et une piste pour la résolution ?

merci :we:

par **Alexandre le Grand** » 29 Juil 2007, 19:26

J-R a écrit:en fait je dois prouver que si alors il existe un réel A tel que pour tout x de

Non, ce n'est pas une double implication.
Quant à A, il dépend de

Pout ton exemple, si tu tiens vraiment à raisonner avec des epsilons, pour ton epsilon positif, il suffit de choisir une valeur appropriée pour A :we:

par **J-R** » 29 Juil 2007, 19:48

merci

oui je sais que c'est une implication mais je ne dois pas fixé A je dois le déterminer ?

si f(x) appartient à l'intervalle alors il existe A tel que....
est ce le bon raisonnement, sinon pourquoi car je ne vois pas ?

(on a : si.... alors il existe....)

par **Alexandre le Grand** » 29 Juil 2007, 20:46

Ce n'est pas le bon raisonnement, en fait tu raisonnes à l'envers.
Si f(x) appartient à l'intervalle, alors tu ne peux a priori rien en conclure sur x (il peut exister une infinité de valeurs où f prend cette valeur a priori).

Quant à A, ici tu peux déterminer une infinité de réels qui conviennent en fonction de epsilon (sachant qu'on prend souvent le plus "optimal", ie ici le plus petit)

par **J-R** » 30 Juil 2007, 09:08

D'accord j'ai compris il faut prendre la bonne implication donc on a pour mon exemple:

mais après comment on fait pour arriver à :

tend vers 0....

par **Alexandre le Grand** » 30 Juil 2007, 09:52

J-R a écrit:D'accord j'ai compris il faut prendre la bonne implication donc on a pour mon exemple:

mais après comment on fait pour arriver à :

tend vers 0....

Pour tout A, x positifs, x>A 1/x < 1/A d'abord.
Ensuite la première inégalité est triviale.
Quant à la seconde il suffit de prendre (par exemple) 1/A = epsilon

par **J-R** » 30 Juil 2007, 10:15

d'accord j'a tout compris sauf pour le mot "trivial" (en fait ca fait plusieurs fois que je le vois) ca veut dire logique ?

merci

maintenant si je veux démontrer que

(en fait c'est juste si

est positif ?) donc je ne sais pas comment faire ....

merci

par **Alexandre le Grand** » 30 Juil 2007, 10:47

J-R a écrit:
maintenant si je veux démontrer que

(en fait c'est juste si est positif ?) donc je ne sais pas comment faire ....

merci

trivial signifie peu ou prou que c'est évident.

Pour les exemples que tu prends, évidemment puisque les fonctions sont bijectives de |R+ dans |R+ la double implication est vraie, mais avec cos ou sin par exemple ce serait différent.
Sinon, il faut faire attention à ce que tu aies |4-w|<|x| pour en conclure le résultat suivant (avec les carrés), ce qui est vrai si tu prends w suffisamment petit.
Ici en prenant epsilon = w(2+w) tu choisis A=w, mais tu peux raisonner "à l'envers" ici car les foctions sont bijectives...

par **J-R** » 30 Juil 2007, 12:10

je ne comprend pas pourquoi le fait que f(x) soit bijective permet l'équivalence...

en fait pour moi f(x) est surjective de R+ dans R+ et non bijective (puisqu'elle n'est pas injective ) non ?

par **Alexandre le Grand** » 30 Juil 2007, 13:27

f : |R+ -> |R+
x -> x²
f (et non f(x) !!!) est bien injective et surjective (soient x,y positifs alors x²=y² si et seulement si (x-y)(x+y)=0 ie x=y, ou encore f est strictement croissante, d'où le résultat).

De plus f est continue, donc pour tous réels positifs a,b,
a f([a,b])=[f(a),f(b)], ie l'image d'un intervalle de |R+ est un intervalle et réciproquement tout intervalle de |R+ admet pour antécédent un unique intervalle de |R+.
En revanche, avec cos ou sin, il y a une infinité d'antécédents pour tout réel de [-1,1] et on ne peut donc plus raisonner à l'envers sur |R.

par **J-R** » 30 Juil 2007, 20:54

ah oui excuse moi tu m'a remis ca en place mais pourquoi le fait que f soit bijective permet l'équivalence ?

merci :)

par **Alexandre le Grand** » 31 Juil 2007, 09:07

Je t'ai dit que f étant bijective continue implique que l'image de tout intervalle est un intervalle et que l'antécédent d'un intervalle est un intervalle.

par **J-R** » 31 Juil 2007, 09:28

ah oui d'accord
il suffisait de dire que f est strictement croissante (et continue) sur R+.

si je continue dans mon raisonnement:

tu m'a dit de poser:

on obtient:

donc patati patata.....

(je viens de m'en rendre compte tous mes signes de comparaison sont au sens large)

merci vraiment Alexandre le Grand

a+

par **B_J** » 31 Juil 2007, 10:11

Salut;

par **Alexandre le Grand** » 31 Juil 2007, 10:14

:ptdr:
J'ai besoin de repos. :ptdr:

par **B_J** » 31 Juil 2007, 10:14

en plus

par **B_J** » 31 Juil 2007, 10:25

en general , pour les problemes de limites , on commence par fixer un

et analyser le second membre de l'implication
exemple:
montrons que

on doit montrer :

fixé
alors

donc il suffit de prendre

par **Alexandre le Grand** » 31 Juil 2007, 10:39

C'est bien ce que j'essayais d'expliquer, le problème c'est qu'avec ces applications strrictement monotones, on peut croire que les deux sens marchent (ce qui est vrai ici par exemple) en général.

par **Alexandre le Grand** » 31 Juil 2007, 10:42

B_J a écrit:en plus

Ca n'a pas d'importance, l'inégalité est encore vraie.

par **B_J** » 31 Juil 2007, 10:57

oui puisque

:ptdr:

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