Continuité, dérivabilité

par **PrépaQuébec** » 30 Juil 2007, 15:15

Bonjour,
une petite chose qui me perturbe toujours un peu:
existe-t-il une méthode simple et efficace pour déterminer si une fonction est continue et dérivable sur un intervalle?
Par exemple f(x)=/x-2/ est continue sur [0,4], mais pourquoi dit-on qu'elle n'est pas dérivable en 2???
Et alors est-elle dérivable en 1 par exemple? Et alors f'(1)=0?? ou bien??
Pour la continuité ça va à peu prêt, je dirai qu'il suffit de calculer la limite lorsque x tend vers le point concerné par valeur négative puis positive.
Je n'ai jamais vraiment saisi ce point là de l'étude d'une fonction...
Quelqu'un aurai l'amabilité de m'éclairer?

Merci... Stef: il n'y a pas de question bête...

par **anima** » 30 Juil 2007, 15:29

PrépaQuébec a écrit:Bonjour,
une petite chose qui me perturbe toujours un peu:
existe-t-il une méthode simple et efficace pour déterminer si une fonction est continue et dérivable sur un intervalle?
Par exemple f(x)=/x-2/ est continue sur [0,4], mais pourquoi dit-on qu'elle n'est pas dérivable en 2???

1) Continuité en un point, si la limite a gauche et a droite tend vers la meme chose lors d'un "hic" ou d'un point sensible de la courbe, exemple dans ton cas en x=2, a gauche et a droite le tout tend vers 0.
2) dérivabilité, en étudiant la limite du taux de variation en ce point. Exemple avec ta fonction:
si x2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2 \\ x>2} \frac{x-2}{x-2} = 1[/tex]

On peut dire qu'il y a 2 demi-tangentes, mais la dérivée elle-meme n'est pas continue: la fonction n'est pas dérivable en ce point, mais dérivable a gauche et a droite.

par **Frangine** » 30 Juil 2007, 15:30

Bonjour,

Calcule la limite de (f(x) - f(2)) / (x-2) quand x tend vers 2 par valeurs supérieures à 2
Calcule la limite de (f(x) - f(2)) / (x-2) quand x tend vers 2 par valeurs inférieures à 2

Tu ne trouveras pas la même limite, donc la fonction f n'est pas dérivable en 2

par **PrépaQuébec** » 30 Juil 2007, 16:21

OK pour la continuité c'est clair, pour la dérivée aussi en fait...
Merci pour vos explications, c'est clair et précis, parfait!!

@+

par **emdro** » 30 Juil 2007, 16:23

Hello,

PrépaQuébec a écrit:existe-t-il une méthode simple et efficace pour déterminer si une fonction est continue et dérivable sur un intervalle?

Oui! Les théorèmes qui disent que:
*les fonctions de base (polynômes, sin, cos, tan, exp, ln) sont continues et dérivables sur leur ensemble de définition
*le produit, la somme, la composée ou le quotient -avec dénominateur non nul- de fonctions continues (respectivement dérivables) sont continus (respectivement dérivables).

Tu as donc des briques de bases, et la possibilité de les assembler.

Il y a au lycée deux cas qui posent problème:
*la racine carrée, qui est continue en 0, mais pas dérivable en 0.
*les "collages" (une fonction définie par une expression à gauche de a, et une autre à droite). Dans ce dernier cas, tu peux faire entrer la valeur absolue, qui est également continue en 0, mais non dérivable en 0.

Dans ces cas, tu utilises les définitions qu'on t'a rappelées plus haut.

PrépaQuébec a écrit:Par exemple f(x)=/x-2/ est continue sur [0,4], mais pourquoi dit-on qu'elle n'est pas dérivable en 2???
Et alors est-elle dérivable en 1 par exemple? Et alors f'(1)=0?? ou bien??
Pour la continuité ça va à peu prêt, je dirai qu'il suffit de calculer la limite lorsque x tend vers le point concerné par valeur négative puis positive.

Continuité: ta fonction est continue sur IR: c'est la composée de 2 fonctions continues:x->x-2 et x->|x|.

Dérivabilité:
*en a=2, on t'a indiqué comment faire.
*ailleurs, si on n'a pas a=2, on n'aura pas a-2=0, et donc la valeur absolue est dérivable. Ta fonction sera donc dérivable sur IR\{2} comme composée de fonctions dérivables.
Quant à la dérivée:
si x>2, |x-2|=x-2, donc la dérivée f'(x)=1
si x<2, |x-2|=-x+2, donc la dérivée f'(x)=-1

Voilà!

par **Rulien62** » 30 Juil 2007, 16:30

Si cela peut t'aider, et si tu possède la courbe de la fonction devant toi, tu peux toujours dire :

Fonction dérivable = fonction dite "douce" que tu peux caresser, elle ne "pique pas"
Fonction continue = au tracé, tu n'a pas besoin de lever ton stylo, il n'y a pas de "trou" sur ta courbe

Je ne sais pas si c'est bien clair pour toi, mais je ne sais pas ajouter dimage...

par **anima** » 30 Juil 2007, 16:47

Rain' a écrit:C'est un point de vue mais tu as déjà carréssé une racine ? Elle pique pas mais elle est vraiment dérivable en 0. :++:

Précisons: la dérivée n'a pas une valeur finie. Car:
- Par le taux de variation,

jusqu'a preuve du contraire.
- Par le théoreme de l'hopital,

(conditions: f(x) dérivable sur ]0,+inf[)
Deux bonne facons pour te montrer qu'elle n'admet pas une valeur finie en dérivée...

par **PrépaQuébec** » 30 Juil 2007, 16:47

:ptdr:
Merci à tous et particulièrement à emdro pour son exposé...! Je n'ai plus de question à ce sujet, une lacune de moins pour moi, donc!

@ bientôt, Stef

par **emdro** » 30 Juil 2007, 16:55

anima a écrit:Deux bonne facons pour te montrer qu'elle n'admet pas une valeur finie en dérivée...

C'est précisément ce que Rain' dit: la courbe de la fonction racine est "douce", mais pourtant, cette fonction n'est pas dérivable. (Aussi douce que la parabole de la fonction carré puisque c'est la même!).

Rain' cherchait à mettre en garde Rulien62 contre l'analogie douceur-dérivabilité qui ne fonctionne pas systématiquement.

Il y a deux types de non dérivabilité:
*un taux de variation qui tend vers +oo ou -oo. Dans ce cas, la courbe admet une tangente verticale. Et elle est douce....
*un taux de variation dont la limite n'existe pas (ni finie, ni infinie). Là, ça pique... :++:

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