Exercice analyse

[Ledescat]

Oui ou on peut prendre x->|x| sur IR.
Seulement on cherche une fonction dérivable partout et à dérivée non continue (sur tout IR) . Et je doute que cela existe, mais il y a tellement de contre-exemples que je n'oserais m'avancer trop vite :we: .

[Flodelarab]

Peut être faudrait il se tourner vers ce mathématicien qui a chercher toute sa vie une fonction continue partout et dérivable nulle part ... mais ma mémoire ne permet pas d'en dire plus. Sauf qu'il a fini par trouver.

[anima]

van der Waerden, la personne. Et sa fonction:

[Flodelarab]

Quelle réactivité! :++: bravo

[Ledescat]

La courbe de Bolzano est continue partout et dérivable nulle part sur [0;1].

http://www.mathcurve.com/fractals/cantor/bolzano.gif


Mais moi je parle d'une fonction dérivable partout à dérivée non continue (partout).

[Flodelarab]

Je ne sais pas ce qu'est une fonction dérivée mais je crois savoir ce qu'est un nombre dérivé:

l existe et est fini

partant de là, on a la définition de la continuité.
Si je choisis un epsilon quelconque, je peux trouver un intervalle autour de x0 tel que ce nombre dérivé soit aussi peu éloigné que je veux de l (la distance sera epsilon)

Donc oui. La dérivée est forcément continue.
C'est le fait que le nobre dérivé soit une limite finie qui implique la continuité selon moi

[BiZi]

Oui ou on peut prendre x->|x| sur IR.
Seulement on cherche une fonction dérivable partout et à dérivée non continue (sur tout IR) . Et je doute que cela existe, mais il y a tellement de contre-exemples que je n'oserais m'avancer trop vite :we: .

Je m'étais posé cette question à un moment; mon prof de maths m'a dit qu'une fonction dérivable ne pouvait avoir une dérivée discontinue sur un ouvert non vide.

[Cygnusx1]

Il y'a toujours l'exemple de la fonction f définie sur R telle que

f(0)=0 et f(x)= x².sin(1/x) sinon.
Cette fonction est continue, on montre qu'elle est dérivable sur R mais sa dérivée n'est pas continue en 0.

Bon ce n'est pas exactement ce que tu voulais elle est presque partout dérivable. Si je trouve la fonction que tu cherches je repasserai

[Ledescat]

Si si c'est très bien comme exemple !
Elle est en effet dérivable en 0 avec f'(0)=0 [un simple taux d'accroissement nous donne le résultat].
Et f'(x)=2x.sin(1/x)-cos(1/x)
Le premier terme tend vers 0, mais le second n'a pas de limite. Donc dérivable en 0, à dérivée non continue en 0...
C'est assez étrange, mais c'est LA fonction qu'il me fallait :we: ! Merci.

[Cygnusx1]

Je croyais que tu cherchais une dérivée non continue partout.
Mais cet exemple permet de voir que la dérivée n'est pas forcément continue :)

[Ledescat]

Oui et ça m'en bouche un coin... :id:

[flight]

..il suffit d'utiliser l'inégalité des accroissement finis ; voir ici :


http://www.uel.education.fr/consultation/reference/mathematiques/analyse2/apprendre/etudeglobale/taf/2_3a.htm