Recherche d'un supplémentaire

par **fenecman** » 09 Juil 2007, 21:37

Bonsoir,

je ne vois pas par où commencer cet exercice. Si quelqu'un veut me débloquer il est le bienvenu :we: .

Voilà l'exercice:

Soit E l'ensemble des fonctions continues de [0,1] à valeurs réelles et soit

Et on demande de trouver un supplémentaire de F dans E.

Merci d'avance

par **emdro** » 09 Juil 2007, 22:15

Bonsoir,
si tu appelles

une fonction continue non nulle en

, mais nulle en tous les autres

pour p entre 1 et 10.

doit être un supplémentaire de F.

par **Ledescat** » 09 Juil 2007, 22:16

emdro a écrit:Bonsoir,
si tu appelles une fonction continue non nulle en , mais nulle en tous les autres pour p entre 1 et 10.

doit être un supplémentaire de F.

La fonction nulle doit appartenir au supplémentaire pour qu'il soit un sev (à moins qu'on ne parle pas d'espaces vectoriels , dans ce cas je me tais :we: ).

par **emdro** » 09 Juil 2007, 22:21

Merci Rain' de m'éviter de poster la même réponse!

par **Ledescat** » 09 Juil 2007, 22:22

emdro a écrit:Merci Rain' de m'éviter de poster la même réponse!

Mais je sais pas ce que j'ai avec les Vect en ce moment ! Il faut vraiment que je me repose (cf hier mon ev des AB-BA :we: ).

par **fenecman** » 09 Juil 2007, 23:12

Rain' a écrit:Soit

En bref, G est le supplémentaire orthogonal de F dans E pour le produit scalaire

Merci de l'aide, cependant il y a quelque chose qui me chagrine : Si on prend G=l'espace fourni par emdro , comment être sûr que l'intégrale de g*f sur 0,1 va être nulle pour tout f appartenant à F puisque comme g est continue , g est nulle sur un voisinage de 1/k mais il faut que f soit nulle au dehors de ce voisinage, donc si f est non nulle sur un voisinage de 1/k qui dépasse celui de g alors l'intégrale ne sera pas nulle.
A moins que l'espace fourni par Emdro ne soit pas un supplémentaire orthogonal?

par **B_J** » 10 Juil 2007, 05:24

fenecman a écrit:Bonsoir,
Soit E l'ensemble des fonctions continues de [0,1] à valeurs réelles et soit
Et on demande de trouver un supplémentaire de F dans E.

le supplementaire d'un sev n'est pas unique

par **fenecman** » 10 Juil 2007, 11:00

D'accord!
Cependant je n'arrive pas à montrer rigoureusement que le sev fourni par emdro est un supplémentaire :mur: .Je suis d'accord que l'intersection entre F et le supplémentaire est réduite à {0}, mais pour montrer E=F+S je bloque...

par **emdro** » 10 Juil 2007, 11:14

Bonjour,

prends une fonction de E. On va la décomposer en la somme d'une fonction de F et d'une de mon sev S.
Ecrivons

où g est dans F.

Les fonctions doivent coïncider sur les

. Mais toutes les fonctions de droite sont nulles en

sauf

.

Donc nécéssairement:

Cela te fixe ton

(de manière unique).
Et c'est gagné, car la fonction g définie par

sera bien dans F, par construction.

Edit: grillé par Rain'!

par **emdro** » 10 Juil 2007, 11:18

Rain' a écrit: les fonctions f_k d'emdro valent 0 en 1/p pour p dans [|1,10|] entier différent de k, et 1 en 1/k.

Je connaissais les polynômes de Lagrange, la fonction de Riemann... Les fonctions d'emdro, cela me flatte terriblement... :doh:

par **emdro** » 10 Juil 2007, 11:28

@Rain'

cela me fait penser à la concordance avec Bruce il y a quelques jours:

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=38232&page=1&pp=10

par **fenecman** » 10 Juil 2007, 11:57

Merci bien,
Ces raisonnements par Analyse/Synthèse me jouent toujours des tours!!!
Je ferais attention maintenant :we:

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