Forme quadratique/Gauss

par **Voronwe** » 28 Juin 2007, 17:31

Bonjour :)

Je suis étudiant en L2 math et j'ai passé avant-hier un partiel d'opérateur dont un des exercices portait sur les formes quadratiques, leur mise en carré et la recherche de bases orthogonales.
Bon, ce qui est fait est fait mais j'aurai besoin de votre aide pour connaitre la réponse à une question importante en particulier, histoire de savoir maintenant si je dois avoir une sale note ou au contraire un beau carton (les résultats ne seront diffusés que dans 20 jours >_<)

On se place dans R-espace vectoriel de dimension 3
Si on note u = (x, y, z) un vecteur de cet espace, alors :
q(u) = x² - 3y² - 3z² + 2xy + 2xz + 10yz est notre forme quadratique.
On remarque de suite grâce à la matrice de la forme bilinéaire associée que son rang est 2, détail que j'ai complètement oublié dans la suite du partiel :triste:

En effet ensuite on nous demande d'exprimer q comme combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes. Au bout de quelques calculs, je trouve ceci :
q(u) = (racine(2)/2*x + racine(2)*y)² + (racine(2)/2*x + racine(2)*z)² + (racine(5)*y - racine(5)*z)²
Je regarde vaguement si les formes sont libres et en effet elles le sont ; je continue donc l'exo...

Seulement voilà, j'ai trouvé 3 carrés alors que q n'est que de rang 2 ! o_O Je m'en rends compte le lendemain, et je demande à toutes mes connaissances mais personne n'est capable de me dire si pour une forme quadratique de rang 2 il ne peut y avoir qu'une somme de 2 carré :triste: A priori oui à cause de la signature mais dans ce cas où ai-je fais mon erreur ? J'ai vérifié 3 fois mes calculs.... Need help sious plait :cry:

par **Joker62** » 28 Juin 2007, 17:47

q(u) = x² - 3y² - 3z² + 2xy + 2xz + 10yz

(x+y+z)² = x² + y² + z² + 2xy+ 2xz + 2yz

D'où

q(u) = (x+y+z)² - 4y² - 4z² + 8yz
q(u) = (x+y+z)² - 4 ( y² - 2yz + z² )
q(u) = (x+y+z)² - 4 (y-z)²

Et voilà 2 formes linéaires indépendantes.
Désolé pour ton partiel

par **Voronwe** » 28 Juin 2007, 17:48

Je sais mais si je développe mes carrés j'obtiens bien q et les formes sont libres ^^"

par **Joker62** » 28 Juin 2007, 17:54

MOi quand je développe la tienne je trouve

q(u) = x² + 7y² + 7z² + 2xy + 2xz - 10yz

par **Voronwe** » 28 Juin 2007, 17:58

Désolé désolé j'ai fait une erreur en recopiant dans mon premier message ! Il fallait lire :
q(u) = (racine(2)/2*x + racine(2)*y)² + (racine(2)/2*x + racine(2)*z)² - (racine(5)*y - racine(5)*z)²

En tout cas merci de tes réponses :++:

par **Joker62** » 28 Juin 2007, 18:09

Malheureusement la réduction de Gauss n'est pas unique.
C'est tout à fait légitime de pouvoir trouver autre chose.
Le problème ici, c'est que, t'as pas réduit au maximum.

C'est tout.
Tu pouvais aussi t'en rendre en voyant que 0 est valeur propre de la matrice de q ( Et que la matrice est diagonalisable surtout )

par **Voronwe** » 28 Juin 2007, 18:11

Ok, merci encore ^^

Topic clos et à bas les partiels -_-"

par **Joker62** » 28 Juin 2007, 18:13

Meuh non ça va aller t'verras ;)

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