Inégalité à démontrer

[lapras]

Bonjour, je veux démontrer que pour tout x >= 1 et n >= 0
(1 + x)^n > 1 + nx
Pour cela, prenons x = 1 et n = 2)
(1+1) ^2 > 1 + 2*1
4 > 3
l'inégalité est vraie pour x = 1
démontrons que cette inégalité est vraie pour tout n+1 (par récurrence) puis pour tout x + 1:
(1+x)^(n+1) > 1 + (n + 1)x ?
((1+x)^n) * (x+1) > (1 + nx) + x ?
Il faut démontrer que si :
a > b > 0 et c > 0, alors a(c+1) >= b + c équivaut a ac + a >= b + c équivaut à c(a - 1) + a - b >= 0, ce qui est vrai car c(a-1)>=0 et a-b >= 0 donc ((1+x)^n) * (x+1) > (1 + nx) + x pour tout n >= 0
maintenant démontrons le pour tout x + 1 :
(1 + (x+1)^n > 1 + n(x +1) ??
((1 + x) +1)^n > (1 + nx) + n

et la je bloque....

Es ce que mon début de raisonnement est faux ?
Que faire ? y'aurait il une formule générale de factorisation pour (1 + x)^n

merci d'avance !

[Monsieur23]

Fais attention à ce que tu fais.

J'imagine que n est entier, et x réel... non ?

Donc on va faire la récurrence sur n.
n=0 : je te laisse vérifier ( d'ailleurs, si l'inégalité est stricte, c'est faux pour n=0 et n=1 ).

Supposons que c'est vrai au rang n.
(1+x)^n > 1+nx.
Donc (1+x)^(n+1) = (1+x)*(1+x)^n > (1+x)*(1+nx).

Tu développes ça, et c'est gagné ! :)

Mr.23

NB : Tout ce que j'ai fait n'est absolument pas rigoureux au niveau de la rédaction.

Edit : grillé :(

[lapras]

Ok
j'ai compris vos démonstrations, merci
existe il un autre moyen de le démontrer, sans récurrence ?

[Joker62]

Binôme de Newton tu connais ?

[lapras]

salut,
non je connais pas, j'apprend avec un livre de pemiere S pour l'année prochaine, et j'ai jamais vu le binôme de newton pour le moment, tu peux m'expliquer ce que c'est ?

EDIT : je regarde sur wikipédia, cette formule est superbe, mais je dois l'admettre, c'est un peu chian d'admettre ca, es ce que je comprendrais la démonstration ?

[lapras]

Oué ca permet de démontrer tout ca beaucoup plus rapidement, mais j'aimerais la démonstration du binôme de newton, si possible le plus simplement car en seconde on a pas vu la combinatoire, donc je connais pas grand chose a part ce que j'ai appris a mon stage de math cet été.

[lapras]

je ne connais que de nom le triangle de pascal :(
je vais voir ça sur le net, des que je l'aurais vu, pourrais tu me faire une démonstration du binôme de newton, ca a l'air vachement intéressant !

[Joker62]

Pour la démonstration, comme l'a dit l'ami Rain' une ptite récurrence, mais faut savoir manier les sommes ( les symboles ) ensuite les changements d'indices, mais bon c'est pas sorcier, ça se fait vite :)
Tu verras ça en Terminale si je ne m'abuse si tu sors de secondes, regarde plutôt le second degrés ;)

[allomomo]

Salut,

NB : Cette inégalité porte un nom : Inégalité de Bernoulli

[lapras]

salut,
merci, grâce à ca j'ai meme pu trouver une démonstration simple avec des dérivées !

[Nicolas_75]

Bonjour,

Pour ma part, je ne connais pas d'autre démonstration élémentaires que les trois proposées ici :
1. récurrence sur n ;
2. binôme de Newton ;
3. étude des variations de la fonction différence.

Cordialement,

Nicolas

[Nightmare]

Salut Nicolas :happy3:

On a aussi l'argument simple de convexité :lol3:

[Nicolas_75]

Quelque chose comme ce qui suit ?

Théorème et définition Soit une fonction d'un intervalle de dans .

Il y a équivalence entre :
(1)
(2) sur I

Si est convexe, alors admet en tout point de une dérivée à droite et une dérivée à gauche. De plus, si et sont deux points de tels que :




Sauf erreur.

Nicolas

[yos]

En général, on travaille avec , et la méthode du binôme est alors à éviter.

[kiwis939]

permet de comprendre le raisonement de ce genre d'ex

http://kiwis.miniville.fr/ind

http://kiwis.miniville.fr