Suite géométrique

[foreigner]

Bonsoir a tous, mardi je passe un concours d'admission Polytechnique (en Belgique) et je suis en train de faire des exercices des années précédentes...
Et je bloque sur l'une d'elles.

On considère la suite de nombres positifs t1, t2, ..., tn, ... où, pour tout n>1, on a t1*t2*...*t(n-1) = 4tn
Ensuite, on considère une nouvelle suite T1, T2, ... , Tn, ... où, pour tout n;)1 , Tn = (pour le logarithme, c'est log en base un demi de tn, déso je sais pas comment on fait)

On demande : a) de démontrer que la suite T1, T2, ..., est une suite géométrique;
b) de déterminer l'expression de Sn = T1 + T2 + ... + Tn en fonction de n, sachant que t6 = 16.


Voila, merci beaucoup de votre aide.

[emdro]

bonsoir,

en faisant le quotient de 4tn+1 par 4tn on obtient:
(tout le reste se simplifie)
donc

Avec log (en base 1/2)





Et c'est gagné pour la première question.

Pour la deuxième, il n'y a pas loin de t6 à T6, pas loin non plus de T6 à T1 (tu connais la raison de cette suite géométrique) et avec une bonne formule de somme des termes d'une suite géométrique de premier terme T1, de raison 1/2 c'est gagné pour la seconde question également.

[foreigner]

merci.

Encore un autre... ^^

Dans le triangle ABC on a B = 90° et A
On demande de démontrer que ARP = 45°

Merci beaucoup de votre aide.

[sarmate]

[quote="foreigner"]merci.

Encore un autre... ^^

Dans le triangle ABC on a B = 90° et Ax.

Ensuite tu cherches les coordonnées des autres points et avec un produit scalaire tu dois réussir à trouver la mesure de ton angle.

Il y a peut-être plus rapide géométriquement, mais quand on a pas d'idée on peut toujours prendre un repère adapté.

[emdro]

J'ai une idée géométrique;
connais-tu les triangles isométriques?

Dans ce cas tu places le point Z tel que vecteur(QZ)=vecteur(PA)

Tu remarques que ABC et CQZ sont isométriques.
Donc CZ=AC et d'autre part angle(ACZ)=90° (c'est 180° moins la somme de deux angles complémentaires).
ACZ est donc isocèle rectangle.

Ainsi angle(CAZ)=45°
Comme QZAP est un parallélogramme (par construction de Z), (QP)//(AZ)

Donc angle(CAQ)=angle(CAZ) ils sont correspondants.

et c'est fini.

NB c'est la moitié de la figure qui est souvent utilisée pour démontrer le théorème de Pythagore. Tu sais le grand carré de côté a+b...

[foreigner]

oui la demonstration m'en souvient :D avec le triangle au centre et les carrés à chaque coté.
Merci beaucoup de vos aides, c'est pas bete le repère, j'y penserai ;)
sinon les triangles iso ca va un peu plus vite et oui je connais. Encore merci ^^

[foreigner]

Bonsoir a tous, j'vais vous ennuyer encore une derniere fois ^^

On donne un cube de coté 6.
Une sphère passe par les 4 sommets de la base et elle est tangente au plan supérieur.
On demande d'établir l'équation de cette sphère (dans un repère orthonormé qu'on choisira soi-même).

Je sais que l'équation d'une sphère est x²+y²+z²=r² mais a part ca, je vois pas comment faire!

Merci beaucoup.

[emdro]

Prends un repère lié au cube. (A, AB, AD, AE) avec les noms habituels des points.

Le centre P a nécéssairement pour abscisse et pour ordonnée 1/2. Tu le montreras en écrivant que PA=PB=PC=PD.

Il te reste zP comme inconnue et R le rayon.

Maintenant, la sphère touche le sommet en T(1/2,1/2,1). Donc zP=1-R Cela te fournit une relation entre zP et R.

Tu écris que PT=PA, et c'est bon, tu as assez d'équations pour trouver tes inconnues.

NB tu peux faire un dessin dans le plan de coupe AEGC.

[emdro]

J'ai R=3/4.

Fais attention, je viens de voir une erreur dans ton équation:
x²+y²+z²=R² c'est une équation d'une sphère de centre 0.

Le cas général c'est:
(x-a)²+(y-b)²+(z-c)²=R² pour une sphère de centre P(a,b,c) et de rayon R.