Limite : Pourquoi 1 ?

[allomomo]

Bonjour Tout le monde,

J'aimerais savoir comment, vous les pros, vous feriez pour montrer que :
(Je voudrais la méthode la plus simple svp)



autre chose :
Comment vous faites pour écrire des fractions ... avec le TEX


Voila c'est tout, et merci encore

[N_comme_Nul]

Salut !

Je suis ( très ) loin d'être "un pro", mais je sais qu'il existe une méthode géométrique qui consiste à dessiner un cercle puis de comparer certaines aires. Cette méthode permet d'éviter de "tourner en rond" en utilisant la dérivée du sinus en 0.
Ou bien alors, passer par les séries entières (qui permet de se décharger de toute dépendance géométrique).
Excuse moi, mais là, je vais aller me coucher. :dodo:

[N_comme_Nul]

Ha, au fait, pour les fractions, on fait :
[ TEX] \frac{a}{b+c}[ /TEX] donne
(il ne faut pas mettre les espaces apparaissant dans les balises, et tu peux appuyer sur l'icône TEX )

[allomomo]

Salut "N_comme_Nul", lol

Tu veux dire, passer par un taux d'accroissement (qq chose comme ca)?

[dilzydils]

Salut!

sin est dérivable sur R, à fortiori en 0. Autrement dit, le taux de variation de sin entre 0 et x:T(0,x)= (sin(x)-sin(0))/(x-0) admet une limite finie. Cette limite est le nbre dérivé de sin en 0.

Or sin(0)=0, donc T(0,x)=sinx/x.

lim (x->0) T(0,x)=sin'(0)=cos(0)=1.

[allomomo]

voila ce que je propose

[center][/center]
[center][/center]
Caractéristique :
C = cercle trigo de rayon 1 et de sens direct et de centre O

;
car

_______
Je veux démontrer que
Cela revient à déterminer les aires des triangles suivants :
: L'aire du secteur angulaire est donnée par
...... On multiplie par 2

et c'est bon :


Maintenant on transforme pour arriver à notre fonction:

or
Donc,

Or,


D'après le théorème des Sandwishs (gendarmes)
d'où,

Voilà, mais j'accueillerai vos commentaires et vos plus avec joie !!! D'ailleurs je ne suis pas sur si c'est une méthode juste pour démontrer ce que je voulais : et merci aussi pour ceux qui ont pris de leur temps pour intervenir !!

[cesar]

bonjour,
avec votre schéma, vous pouviez demontrer aussi que sin(x)~= x (sin(x) est approximativement équivalent à x lorsque x--> 0) donc lim (sin(x)/x)=1
si x-->0.

cette approximation est tres utilisée en physique pour les mouvments pendulaires de petite amplitude... on remplace alors directement sin(x) par x dans les équadifs ce qui permet souvent de les resoudre...

[Anonyme]

Bonjour,

Voir aussi cette discussion sur le même sujet :
http://les-mathematiques.u-strasbg.fr/phorum/read.php?f=2&i=187067&t=187067

Nicolas

[mathador]

Salut
la méthode la plus simple et la plus directe est celle proposée par dilzydils : c'est celle que l'on voit (noralement!) en 1ère S ou en TS. Quelle belle astuce, d'ailleurs :id:
Cordialement

[Galt]

C'est vrai que la méthode utilisant la dérivée de la fonction sinus est la plus simple, mais comment a-t-on prouvé que sinus était dérivable, et que sa dérivée est cosinus ?
Pour éviter de tourner en rond, on a deux solutions :
la méthode géométrique, où on montre que, pour x positif, , ce qui permet d'avoir , puis la limite en 0 de , puis enfin, pour la dérivée de sinus en une valeur quelconque, de transformer en utilisant la formule (bien connue) (je laisse les détails aux lecteurs)
la méthode prépa, qui consiste à définir la fonction exponetielle complexe par la somme de la série , convergente sur C , puis de définir sinus sur C par , la fonction cosinus de même, elles sont développables en série entières donc sur C , et faciles à dériver
Voila, voila

[mcrafi]

Ceci devrait répondre à votre question:
On sait que Sinx et que Sinx > -x (Vous pouvez vous en assurer)
donc l sinx l donc l Sinx l/l x l < x/x
"" "" l Sinx l/lxl < 1

On peut en deduire que lim(sinx/x) ;(x=>0) est 1.

Si vous trouvez une autre explication n'hesitez pas à la publier.

[gamecuber]

Oula, mcrafi, c'est un peu osé tout ça :p

On sait que Sinx -x (Vous pouvez vous en assurer)

sin(-pi)=0>-pi
sin(-pi)=00) est 1.[/quote]

Même en admettant que tu fasses le calcul pour 0+, ta déduction est fausse. Ce n'est pas parce-qu'une fonction est majorée par un réel qu'elle tend vers ce réel... Exemple tout bête, la fonction x->1/2 , et bien elle est bien strictement inférieure à 1 pour tout x, mais elle est loin de tendre vers 1

a+

[mcrafi]

Oula, mcrafi, c'est un peu osé tout ça :p



sin(-pi)=0>-pi
sin(-pi)=01/2 , et bien elle est bien strictement inférieure à 1 pour tout x, mais elle est loin de tendre vers 1

a+

C'est exact, il y a une faute.
Je corrigerai et vous aurez la reponse prochainement,

Merci beaucoup pour votre attention;

[Sylvain]

j'essayerai de poster une démonstration (déjà faite mais bien rédigée) demain des que je peux...

[Anonyme]

- x tend vers 0 par valeurs positives
on peut considérer x compris entre 0 et pi/2...on a donc
sinx < x < sinx/cox

la première égalité donne sinx/x < 1

En multipliant les deux membres de la deuxième par cos x et en le divisant par x, on a

cox x < sinx/x

On a donc cox x < sinx/x < 1
et on sait que cos (0) = 1
==> sinx/x qui est compris entre 1 et un nombre qui tend vers 1 tend lui meme vers 1 (gendarme)

- x tend vers 0 par valeurs de signes quelconques
Que x soit positifs ou négatif, si x' est sa valeur absolue on a alors:
sinx/x = sinx'/x'
(si x neg, sinx=sin(-x')=-sinx' et sinx/x = -sin(x')/(-x')= sinx'/x' )

quand x tend vers 0, x' tend vers 0 par valeur positives, sinx'/x' tend vers 1, il en est de meme de sinx/x qui lui est égal.

voilà...je pense que c comme ca c qu'il fo démontrer parce que on peut aborder le signe vers lequel tend x ce qui est important...non?
Qu'en pensez vous? (meme si g repris en grnade parti ce que vs aviez fait)

[mcrafi]

Salut,
On sait que Sinxsinx>0 alors sinx/sinx< x/sinx < Tanx/sinx
alors 1< x/sinx < 1/cosx
donc cosx< sinx/x < 1

on a lim(cosx) = 1 , quand x tend vers 0
et lim(1) = 1 , " " " "
alors on deduit que lim(Sinx/x) = 1

[Sylvain]

oué mais là ca ne démontre pas le résultat lorsque x tend vers 0 par valeur négative non? contrairement à ma démo non?

[mcrafi]

Meme chose dans l'intervalle [-pi/2;0].