Espaces normés

[july3_76]

Un espace normé de dimension fini est-il complet, compact et connexe?

[sarmate]

complet oui, en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, tu en prends une qui te permet d'utiliser la complétude de R.

compact non, car il n'est pas borné.

connexe oui, même convexe... on peut tjs relier deux vecteurs par un segment.

[BQss]

complet oui, en dimension finie toutes les normes sont équivalentes, tu en prends une qui te permet d'utiliser la complétude de R.

compact non, car il n'est pas borné.

connexe oui, même convexe... on peut tjs relier deux vecteurs par un segment.

si on parle de dimension d'espaces vectoriels, oui car les EV sont convexe et connexe. Mais si on prend dimension au sens large c'est a dire, nombre d'elements necessaires pour decrire l'ensemble alors, pas forcement.
le sous espaces de R [0;1]U[2;3] qui n'est pas un EV ,muni de la distance/norme valeur absolue induite, est de dimension fini (prendre le vecteur "1" alors il existe alpha réel tel que x=alpha*1), n'est pas connexe, ni convexe biensur.

[sarmate]

si on parle de dimension d'espaces vectoriels, oui car les EV sont convexe et connexe. Mais si on prend dimension au sens large c'est a dire, nombre d'elements necessaires pour decrire l'ensemble alors, pas forcement.
le sous espaces de R [0;1]U[2;3] qui n'est pas un EV ,muni de la distance valeur absolue induite, est de dimension fini (prendre le vecteur "1" alors il existe alpha réel tel que x=alpha*1), n'est pas connexe, ni convexe biensur.

Je suis d'accord avec toi BQss, mais en suivant les diverses questions que posent july3_76 depuis ce matin, il était a peu près évident que nous étions dans un ev...

[fahr451]

une norme (et non une distance) est nécessairement définie sur un espace vectoriel

[sarmate]

très bonne remarque...

[BQss]

une norme (et non une distance) est nécessairement définie sur un espace vectoriel

c'est pour ca que j'ai contourné le probleme en mettant distance/norme :we: .

je voulais juste noter que la notion d'espace metrique de dimension finie n'etait pas forcement lié a la convexité ou connexité.

[Sylar]

(R,/./) est un espace de Banach....
J'aimerai savoir ce que différencie un Banach d'un complet.Merci....

[sarmate]

(R,/./) est un espace de Banach....
J'aimerai savoir ce que différencie un Banach d'un complet.Merci....

Le fait d'être un espace vectoriel normé...
Un espace métrique (non ev, non normé) peut-être complet.

[quinto]

Bonjour ?

Un espace normé de dimension fini est-il complet

Non.

compact

non

et connexe?

oui, c'est une conséquence de l'inégalité triangulaire.

[quinto]

complet oui, en dimension finie toutes les normes sont équivalentes,

Faux !

tu en prends une qui te permet d'utiliser la complétude de R.

Le problème se situe ici. Personne ne suppose que l'espace vectoriel est un R-ev.
Si tu as un Q-ev par exemple, il existe des normes non équivalentes et ton ev n'est pas non plus complet en général.

[sarmate]

Quinto, pourrais-tu nous trouver un exemple d'evn en dimension finie qui ne soit pas complet ?

[sarmate]

Faux !



Le problème se situe ici. Personne ne suppose que l'espace vectoriel est un R-ev.
Si tu as un Q-ev par exemple, il existe des normes non équivalentes et ton ev n'est pas non plus complet en général.

Tu viens de répondre

[kazeriahm]

Q est un Q-ev de dim 1 mais n'est pas complet...

j'y avais jamais réfléchi en fait mais c'est vrai que les profs nous balancent des théormes sur la dim finie sans vergogne alors qu'en fait... (bon de toute facon on utilise bolzano weierstrass dans tout ca donc ca n'est vrai que sur les complets (??!))

[sarmate]

Oui, on ne voit que des R ev ou des C ev, nos théorèmes sont énoncés sans précisions par rapport au corps de bas, et on fini par n'avoir que cela dans notre intuition.