Suites et distances

[july3_76]

E espace métrique compact et f:E->E une isométrie

Cad pour tt x,y appartenant a E d(f(x),f(y))=d(x,y)

Soit xo appartenant a E tel que xo n'appartienne pas a f(E)

1) Montrer que d=d(xo,f(E)) est strictement supérieur a 0.
(d=inf{d(xo,f(x), x ppartenant a E})

2) Soit (xn) la suite récurrente issue de xo par xn=f(xn-1)
Mq pour tt n,m => d(xn,xm)> ou égal à d.

3) En déduire que cette suite ne possède pas de valeur d'adhérence.


Pouvez-vous m'aider?

Merci d'avance...

[sarmate]

Pour la question 1-

Une isométrie est continue, l'image d'un compact par une isométrie est un compact.
De plus { } est un fermé disjoint du compact f(E), leur distance est donc strictement positive (c du cours, mais cela se démontre facilement)

[sarmate]

Pour la question 2 :

La fonction f étant une isométrie nous avons que d(xm,xn)=d(xm-1,xn-1).

Et si on note m=n+k (en supposant que m>n) nous avons par une récurrence immédiate que :

d(xm,xn)=d(xk,x0).

Or d(x1,x0)=d>0 d'après la question précédente, et par inégalité triangulaire, on obtient pour tout k>0, d(xk,x0)>=d.

[sarmate]

Pour la question 3.

Si la suite possédait une valeur d'adhérence alors on pourrait en extraire une sous-suite convergente. Or d'après la question 2, on voit que ce n'est pas possible, car aucune sous-suite ne vérifie le critère de Cauchy.


Je me permet de rajouter que nous obtenons là une contradiction, car E étant compact, nous avons d'après le th de Bolzano Weierstrass que toute suite possède une valeur d'adhérence.

On obtient donc, par l'absurde que f est surjective, puisqu'elle est aussi injective (toute isométrie est injective), nous avons ainsi que f est une bijection continue, et d'après le cours c'est un homéomorphisme. (prop. si E est compact toute bijection continue de E dans E est un homéomorphisme)

[july3_76]

Pour la question, y'a t-il une correction plus rigoureuse?

[sarmate]

Pour la question, y'a t-il une correction plus rigoureuse?

Quelle question ?

[july3_76]

dsl... la question 1?

[sarmate]

Tu veux plutôt dire une démonstration plus détaillée... plutôt que plus rigoureuse... enfin j'espère...

Le fait qu'une isométrie est continue est évident : il suffit d'écrire la définition de la continuité avec les quantificateurs.

L'image d'un compact par une application continue est un compact... C'est du cours, tu en trouveras la démonstration dans celui de ton choix.

Je peux te démontrer par contre le théorème suivant :

Soit (E,d) un espace métrique. Soit K un compact de E et F un fermé de E tels que est vide.
Alors d(F,K)>0

preuve : L'application g : x->d(x,F) etant continue, car 1-lipschitzienne, sur le compact K, il existe xk dans K tel que :

g(xk)=min{g(x),x dans K}=d(K,F)>=0.

(une fonction continue sur un compact atteint ces bornes)

Si g(xk)=0 cela signifie que xk appartient à l'adhérence de K qui est K (car un compact est fermé). On aurait donc que x appartient à , ce qui est absurde par hypothèse.

Donc g(xk)=d(K,F)>0

[yos]

Pour la question 2 :

La fonction f étant une isométrie nous avons que d(xm,xn)=d(xm-1,xn-1).

Et si on note m=n+k (en supposant que m>n) nous avons par une récurrence immédiate que :

d(xm,xn)=d(xk,x0).

Or d(x1,x0)=d>0 d'après la question précédente, et par inégalité triangulaire, on obtient pour tout k>0, d(xk,x0)>=d.

A revoir... (la fin).

[sarmate]

A revoir... (la fin).

Tu as raison, je suis allé trop vite :

en fait d(xk,x0)>=d car d est un minimun, d=min( d(x0,y) y dans f(E)) donc tout élément de f(E) est à au moins d de {x0}, et xk est bien un élément de f(E).