Defi proba 3

Olympiades mathématiques, énigmes et défis
BQss
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Defi proba 3

par BQss » 22 Juin 2007, 17:42

Je lance un autre defi de proba en même temps, celui là plus de probabilité pure, plus rigolo.


Une souris se déplace dans un lieu constitué de 7 pièces comme suit:

2---4---6
|---|---|
1---3---5---7

La souris commence son chemin à la case 1, un chat demeure à la case 4 et un bout de fromage demeure dans la case 7.
La souris passe d'une pièce a l'une de ses voisines avec une probabilité uniforme 1/k (exemple si elle est en 3 les probabilités qu'elle accede en 4 1 ou 5 sont de 1/3). Mais si elle tombe sur la case 4 ou 7 elle y reste.

Quelle est la probabilité que la souris accède a la 7eme piece.



Imod
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par Imod » 22 Juin 2007, 19:29

Bonjour BQss .

On voit que le seul chemin gagnant est : 1->3->5->7 avec en sus quelques passages facultatifs par les cases 2 et 6 et/ou quelques retours arrières . Ne s'agît-il pas là de ce que l'on appelle les chaînes de Markov ( je n'y connais absolument rien ) ? Je vais voir s'il y a un moyen simple de faire le calcul mais j'ai des craintes .

Imod

alben
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par alben » 22 Juin 2007, 20:33

Bonsoir,
On peut construire une matrice M 7x7 avec en colonne pièce d'origine et en ligne les pièces d'arrivées et comme valeurs les probas.
Pour la ligne 1 cela donne par exemple
0;1/2;1/3;0;0;0 etc..
Les totaux par colonnes sont égaux à 1
En notant le vecteur colonne qui correspond à la proba d'être dans chaque pièce à l'étape n
Il suffit de calculer en diagonalisant M.
mais comme M est assez trouée, on doit y arriver directement...
PS ça donne : 4 chances sur 29 pour la souris de diner et 25/29 pour le diner du chat

BQss
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par BQss » 22 Juin 2007, 22:55

Imod a écrit:Bonjour BQss .

On voit que le seul chemin gagnant est : 1->3->5->7 avec en sus quelques passages facultatifs par les cases 2 et 6 et/ou quelques retours arrières . Ne s'agît-il pas là de ce que l'on appelle les chaînes de Markov ( je n'y connais absolument rien ) ? Je vais voir s'il y a un moyen simple de faire le calcul mais j'ai des craintes .

Imod



Tout a fait Imod c'est une chaine de markov. Mais celle ci etant basique on peut faire l'exo sans l'admettre a priori.

BQss
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par BQss » 22 Juin 2007, 23:05

alben a écrit:Bonsoir,
On peut construire une matrice M 7x7 avec en colonne pièce d'origine et en ligne les pièces d'arrivées et comme valeurs les probas.
Pour la ligne 1 cela donne par exemple
0;1/2;1/3;0;0;0 etc..
Les totaux par colonnes sont égaux à 1
En notant le vecteur colonne qui correspond à la proba d'être dans chaque pièce à l'étape n
Il suffit de calculer en diagonalisant M.
mais comme M est assez trouée, on doit y arriver directement...
PS ça donne : 4 chances sur 29 pour la souris de diner et 25/29 pour le diner du chat


Bravo alben! C'est ca
En notant le temps d'arrivée en sept.

C'est en fait la probabilité suivante:
ou est la probabilité des evenements partant de 1. Ca se calcul un peu plus facilement en resolvant un systeme du type
,

(c'est a dire que la moyenne des probabilités de temps d'entrée fini en 7 a la case suivante, sachant qu'on etait a la case x, est egale a la probabilité partant de x que le temps d'entrée en 7 soit fini. Ce qui s'ecrit par exemple pour la case 3 ou , ce qui est logique et ce qui traduit en quelque sorte ce que tu exprimais en cherchant a repartir de certaines cases rain' )

et finalement aussi

Je laisse le defi proba 2 en suspend a qui voudra s'y essayer , je donnerai une reponse si personne n'a essayé.

A toi alben de proposer un defi proba/mesure/stat 4 maintenant .

PS: et bravo a rain' pour sa tentative, ton raisonnement est juste mais cette maniere de proceder debouche comme tu le vois sur des inpasses,il faut modeliser le probleme en terme de temps d'entrée ou comme alben l'a fait. Sommer les probabilités jusqu'a l'infini est difficilement realisable car les chemins possibles sont non denombrables. On trouve la solution grace a une egalité limite qui utilise les probabilités conditionnelles(un peu comme tu l'as fait). Cela permet de contourner ton probleme. On ne somme pas. Mais c'etait bien tenté.

BQss
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par BQss » 23 Juin 2007, 00:02

Je vais l'ecrire en plus clair:

on sait que




on resoud alors le systeme de sept inconnus avec x :


pour x different de 4 et 7
pour x=4
pour x=7

ce qui permet de calculer la probabilité d'entrée en 7 partant de tout point et donc partant de 1.

J'espere que c'est assez clair.

Imod
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par Imod » 23 Juin 2007, 00:08

Je ne suis pas sûr d'adorer tout à coup les probabilités ( j'ai trop subi la chose ) mais c'est parfois joli :we:

Imod

 

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