Valeur d'adhérence et espace compact

[july3_76]

J'ai un petit exercice que je n'arrive pas résoudre:

Soit (xn) une suite de cauchy.

1)Montrer que si elle possède une valeur d'adhérence, elle converge vers celle-ci.

2)Montrer que tout espace compact est complet.

Merci d'avance.

[fahr451]

bonjour

1)soit L cette valeur d 'adhérence

il existe xphi(n) de limite L

et on a x(n) -xphi(n) de limite nulle puique x est de cauchy donc

x a pour limite L
2) cf 1)

[Sylar]

Bonjour july:
1/Soit (un) une suite de Cauchy,et elle admet une valeur d'adhérence ,donc il existe L appartenant a E et et F:N->N croissante bijective telle que:
lim(n->+inf) u(f(n))=L <=> lim(n->+inf)N(u(f(n))-L)=0
Soit e>0 ,pout tout n
N(u(n)-L)=Il existe n0 tel que pour tout n>=n0 :N(u(f(n))-L)=Or,f(n) >=n =>f(n)=n+p
Par ailleurs:pour n>=n1: N(u(n+p)-u(n))=Pour tout n>=Max(n1,n0) : N(u(n)-L)=
(u(n)) est une suite convergente.......