Racine² de 5 irrationnelle?

par **pierremaul** » 18 Juin 2007, 19:27

Bonsoir !
Voilà en cours je dois montrer que racine² de 5 est un irrationnel.

J'ai donc posé : racine²5= p/q
j'ai élevé au carré et on a : 5q² = p²

Mais je suis bloqué par la suite.
Que faire?

par **Monsieur23** » 18 Juin 2007, 19:35

On pourrait dire que 5 divise p².
Donc p aussi. Posons p = 5r
...

Il faut aussi que tu prennes p et q premiers entre eux, c'est mieux... ;)

Mr.23

par **cesar** » 18 Juin 2007, 19:48

Monsieur23 a écrit:On pourrait dire que 5 divise p².
Donc p aussi. Posons p = 5r
...

et tu recommences avec :
q² = 5r²...
sauf que p>r>0 et tu obtiens une suite décroissante d'entiers , minorée par 0...

par **Monsieur23** » 18 Juin 2007, 19:49

Euh, je pensais pas à ça.

Tu as 5 divise p.

Ensuite, q² = 5r²
Donc 5 divise q², donc q.

Donc p et q sont premiers entre eux, mais sont divisibles pas 5, d'où une contradiction, ça ne suffit pas ?

Mr.23

par **pierremaul** » 18 Juin 2007, 19:59

Si Monsieur23 c'est parfait!
Merci beaucoup !

par **kazeriahm** » 18 Juin 2007, 20:44

et tu peux adapter cette démonstration pour tout p premier (racine de p est irrationel)

par **yos** » 18 Juin 2007, 20:52

pierremaul a écrit:5q² = p²

La valuation 5-adique du premier membre est impaire alors que celle du second membre est paire.

par **cesar** » 19 Juin 2007, 07:27

:briques: tilt !!!!

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