Fonction continue

par **peli_123** » 13 Juin 2007, 15:22

voila j'ai un exo d'un examen qui se presente ainsi
soit f:[0,1]->[0,1] continue.Montrer qu'il existe x0 \in [0,1] tel que f(x0)=x0
soit f:[a,b] ->R continue tel que f(a)=f(b)
Montrer qu'il existe ( c,d) \in (|a,b|)*(|a,b|) tel que f(c)=f(d)

je ne suis pas sur de moi mais je me demande comment vous resoudriez cet exercice.
selon moi pour la premiere fonction il suffit juste de restituer la definition d'1 foncton continue
c'est a dire que lim f(x)->f(a), x->a (wikipedia) et ce serait la mes x0 puis que l'intervalle d'arrive est le meme que celui de depart
Par contre pour la seconde faut il utiliser les valeurs intermediaires ?

edit: je me suis trompe dans l'ennonce f(c)=f(d) et non f(c)=f(b)
merci

par **yos** » 13 Juin 2007, 15:48

Bonjour.

1) TVI à g(x)=f(x)-x

2) Si f constante c'est évident, sinon f possède un extrémum m=f(e) , avec

(supposons par exemple que c'est un maximum). On peut montrer que f atteint deux fois la valeur f(a)+m/2 (fais un dessin).

par **peli_123** » 13 Juin 2007, 16:14

merci pour ton aide
tvi = theoreme des valeurs intermediaires?
sinon j'avais tout faux

par **yos** » 13 Juin 2007, 16:19

peli_123 a écrit:tvi = theoreme des valeurs intermediaires?

oui.

peli_123 a écrit:sinon j'avais tout faux

En effet pour le 1.

par **peli_123** » 13 Juin 2007, 18:27

je ne comprends pas, je croyais qu'il fallait trouver un element de l'intervalle de depart qui par la fonction ne serait pas modifie.
Ce genre d'exo ou la fonction est definie que par qques proprietes, il faut recherche une fonction ou un element.
je m'excuse de ma totale ignorance en mathematiques :cry:

par **yos** » 13 Juin 2007, 19:27

Je te fais le premier :
On définit la fonction g sur [0,1] par g(x)=f(x)-x.
g est continue car f et

le sont.

(car f prend ses valeurs dans [0,1]).

(car f prend ses valeurs dans [0,1]).
Le théorème des valeurs intermédiaire appliqué à g montre qu'il existe un c dans [0,1] tel que g(c)=0, c'est-à-dire f(c)=c.

par **peli_123** » 13 Juin 2007, 23:04

je te remercie Yos, j'ai compris
tu aurais un site ou des exos comme ceux la sont disponibles
merci

par **peli_123** » 15 Juin 2007, 18:43

j'ai trouve des exercices du meme genre que je vais vous donner

par **peli_123** » 18 Juin 2007, 00:57

soit f:R->R continue derivable dont la courbe representative passa par l'origine et par le point A(2,0).Montrez qu'il existe c dans ]0,2[ tel que f'(c)=0
En deduire l'equation de la tangente a la courbe au point d'abcisse c

soit h R ->R continue derivable on suppose que tout x dans ]0,1[ | h'(x)< ou=M0 et que la courbe representative de h passe par l'origine.Montrez que -m0
j'ai pris un peu temps j'essayais de resoudre mais ce fut une belle perte de temps
merci

par **xunil** » 18 Juin 2007, 01:04

Il faut que tu utilises le théorème des accroissements finis (pour le premier), et l'inégalité des accroissements finis (pour le deuxième).
Je te donnes ce lien qui t'aidera:
Théorème des accroissements finis et inégalité des accroissements finis
Bon courage.

par **yos** » 18 Juin 2007, 09:34

Bonjour.
Tu dois bien avoir un cours ou un livre. Cherche th. de Rolle. Les exercices que tu donnes relèvent de méthodes bien déterminées. N'espère pas réinventer tout.

par **peli_123** » 18 Juin 2007, 12:44

merci ton aide, je crois que desormais je serai fin pret pour cet examen
je vous remercie tous pour votre aide et votre patience

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