Connexité compacité et continuité

[july3_76]

Je n'arrive pas à faire ces 2 exercices, pourriez vous m'aider svp?

f: R^p--->R, Continue

1) que peut-on dire de f(R^p)?
2)Soit A un fermé borné connexe dans R^p, que peut-on dire de f(A)?
3) soit B={x appartenant à R^p / ||x|| = 1 }, que peut-on dire de f(B)?
4) Soit C un ouvert connexe de R^p, que peut-on dire de f(C)?
__________________________________________________________

Soit E un espace métrique compact, f:E--->R une application continue

Montrer que si pour tout x appartenant à E f(x)>0 alors il existe c>0 tq pour tout x dans E f(x)>=c.

Merci d'avance.

[nuage]

Salut,
1) l'image par une application continue d'un ensemble connexe est un ensemble connexe, et je crois me souvenir que les seules parties connexes de R sont les intervalles.
2) un fermé borné connexe de R^p est un compact connexe, son image par une application continue l'est aussi. Et les compacts connexes de R sont les intervalles fermés bornés.
3) voir 2)
4) une chose que l'on ne peut pas dire (elle peut-être vraie ou fausse) : f(C) est un ouvert. Sinon voir 1)

pour le 2° exo voir question2) ci-dessus

[édition] orthographe

[kazeriahm]

pour l'exo 2,

f(E) est compact comme image continue d'un compact. Ainsi on peut trouver
c dans f(E) tel que c=inf{f(x),x dans E}=min{f(x),x dans E}=f(x0)

par hypothèse f(x0)=c>0 et pour tout x dans E, f(x)>=c

[july3_76]

J'aimerais avoir quelques précisions pour les questions 3) et 4) de l'exercice 1 car je n'ai pas très bien compris...

Merci d'avance.

[nuage]

Pour la question 3) B est fermé, borné et connexe (ça me semble évident, mais je peux le démontrer) donc B est compact, car R^p est localement compact. On peut en déduire que f(B) est de la forme [a;b] avec a<=b. En effet tous les compacts connexes de R sont de ce type.

Pour la question 4) on peut dire que f(C) est connexe car l'image d'un connexe par une application continue est connexe. Mais on ne peut rien dire d'autre.

[quinto]

Pour la question 4) on peut dire que f(C) est connexe car l'image d'un connexe par une application continue est connexe. Mais on ne peut rien dire d'autre.

Pas même connexe par arcs ?

[nuage]

Salut quinto

Pas même connexe par arcs ?

Je le crois, mais j'ai un trou que je n'ai pas cherché à combler.
Tous les ensembles connexes de R sont-ils vraiment connexes par arcs ?
Je n'ai pas le courage de chercher une démonstration.

[édition] en fait c'est évident, j'aurais mieux fait de réfléchir un peu plus.
En vieillissant je deviens paresseux (et prudent).

A+

[quinto]

En fait ma remarque est stupide puisque je n'avais pas vu que l'ensemble d'arrivée était R.
Plutôt que stupide, elle n'apporte rien.

Effectivement les connexes par arcs sont les connexes dans R.
C'est facile de voir ça:
un connexe par arcs est connexe, donc c'est un intervalle et il est clair que tout intervalle est connexe par arcs:
Pour deux points a et b d'un intervalle I, il suffit de considérer at+(1-t)b qui reste dans l'intervalle (par définition d'un intervalle).

a+

[nuage]

Et j'avais eu la flemme de le faire.

A+ et merci