Anneau quotient

[Ptah Sokar]

Bonjour a tous !

Le sujet qui suit a été l'un des exos de mon partiel sur la matière " Anneaux ", exos que j'ai bien entendu totalement planté... Si vous pouviez m'éclairer sur la plupart des points ce serait vraiment sympa, car je rame beaucoup...
Je mets pas les raisonnements que j'ai fais sauf sur demande, car vu le peu de choses que j'ai faite la dessus... hum... ^^

Sujet :

On note A l'anneau quotient A= R[X]/( -1) et la surjection canonique de R[X] sur A.
On note B l'anneau quotient B= R[X]/( +X+1) et la surjection canonique de R[X] sur B.

1) L'anneau A est il intègre ? Si oui le prouver, si non, exhiber un diviseur de zéro dans A.

2) L'anneau B est il un corps ?

3) On construit une application de A dans B de la façon suivante : si a = (P) A (classe modulo -1), on pose (a)= (P)

a - Montrer que est bien définie.
b - Montrer est un homomorphisme d'anneaux.
c - Montrer que est surjectif

4) Montrer que Ker est un idéal maximal de A

5) Montrer que Ker est principal et en donner un générateur

__________________________

Merci à tous !

[quinto]

Bonjour,
la première question est faisable par un élève de première si tu changes la formulation:

Peut on factoriser X^3-1 comme produit de deux polynômes à coefficients réels ?

Que penses tu faire pour le reste ?

Par exemple, que faut il montrer pour la seconde question ?

[Ptah Sokar]

2) comme B est un anneau il faut regarder si tout élément non nul de B est inversible.

3)
a - Je pensais montrer que si (P) = (Q) alors (P) = (Q)

b - Ici il faut montrer que (a+b) = (a) + (b) et que (a.b) = (a). (b)

c - La je dois montrer que pour n'importe quel élément pris dans B on peux lui trouver un antécédent dans A

4) Pour montrer que ker est un idéal maximal de A je dois montrer que si ker est un inclus ou égal à A alors ker = A

5) La par contre je ne sais pas trop...

Je pense avoir les méthodes, mais l'application me pose problème, enfin peut-êter que mes bases ici sont mauvaises, corrigez moi :marteau:

[quinto]

Tu n'as pas des théorèmes dans ton cours qui te disent que si A' est un anneau et I un idéal ??? de A', alors A'/I est ???

Effectivement, tu ne sembles pas maitriser ton cours, donc que veux tu faire avec ?

[Ptah Sokar]

Si bien sur, A/I est intègre si et seulement si I est premier.
Donc comme -1 = (X-1)(X²+X+1) mais que ces deux facteurs ne sont pas dans l'idéal ( - 1), I n'est pas premier et donc A/I n'est pas intègre, c'est bien ca ?

Sinon pour la question 2, on peux voir que X²+X+1 est irréductible sur R.
On obtient ainsi que (X²+X+1) est un idéal maximal.
Donc A anneau commutatif et I iédal maximal entraîne donc que A/I est un corps ?

Pour l'application définie , elle signifie bien que l'on associe la classe modulo -1 d'un certain P dans R[X] à la classe modulo X²+X+1 de ce même polynome P ?
Si c'est bien cela, on peut voir que X²+X+1 divise -1
Donc si deux polynome P et Q ont la même classe modulo - 1, ils ont également la même classe modulo X²+X+1 et donc (P) = (Q) => (P) = (Q) et donc l'application est bien définie ?

le b) et c) ca va par contre les deux dernières questions je sèches un peu...

[quinto]

Si bien sur, A/I est intègre si et seulement si I est premier.
Donc comme -1 = (X-1)(X²+X+1) mais que ces deux facteurs ne sont pas dans l'idéal ( - 1), I n'est pas premier et donc A/I n'est pas intègre, c'est bien ca ?

Oui, en des termes plus simples, x-1 et x^2+x+x sont non nuls dans ton idéal, mais leur produit est nul ...

Sinon pour la question 2, on peux voir que X²+X+1 est irréductible sur R.
On obtient ainsi que (X²+X+1) est un idéal maximal.
Donc A anneau commutatif et I iédal maximal entraîne donc que A/I est un corps ?

Oui !

[Yipee]

Sinon pour la question 2, on peux voir que X²+X+1 est irréductible sur R.
On obtient ainsi que (X²+X+1) est un idéal maximal.

Euh... Je ne sais pas ce qu'il y a dans ton cours, mais le fait qu'un élément u soit irréductible n'implique que l'idéal engendré par u est maximal que dans un anneau principal (c'est le cas ici mais il doit falloir le preciser).