Limite de somme

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Bonsoir,je n'arrive pas a determiner la limite de cette série qui me fait penser aux somme de Riemman........
On a : v(n)=sum(k=1...n)[sin(k/n).sin(k/n^2)]
Merci.....

[kazeriahm]

le terme en sin(k/n^2) se comporte comme k/n^2 et on est ramené à la somme de Riemann associée à x*sin x...

enfin bon c plus compliké ke ca il faut faire attention a ce quon écrit mais je crois que c lidée

[fahr451]

c'est tout à fait ça

suffit d écrire

x>= sinx >= x- x^3/6 par exemple pour x dans [0,1]

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Ah ok merci,je suis fatigué je verrai ca demain matin........... :dodo: :dodo:

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Re , en fait mon probleme c'est que :
sin(k/n^2) equivalent a k/n^2 mais dans les sommes de Riemman c'est du :

[k(b-a) /n] merci....

[kazeriahm]

attention une somme de Riemann est de la forme (si le pointage est sympa)

((b-a)/n)*somme(f(k/n))

ici b=1, a=0 donc c'est bon.

De plus l'utilisation des équivalents est une très mauvaise idée ici.

Procède comme l'a dit fahr en encadrant ta somme (en majorant minorant le sin, le terme en x^3 va te donner une somme qui tend vers 0).

[Bodyboard.Pro-Rider>Vert]

Ok merci beaucoup

[quinto]

Le fait que la série se comporte comme celle des k/n^2 ne permet surement pas de conclure quant à la limite.

Par exemple:
sin(1/k^2) équivalent et de même signe que 1/k^2 en l'infini.

Ainsi les deux séries convergent bien vers la même valeur, mais les séries sont différentes.

Pire:
Soit n_0 un nombre arbitrairement grand différent de 1.
soit u(n) une suite positive qui est le terme général d'une série convergente.
Soit v(n)=0 pour n=n_0
alors u(n) et v(n) sont équivalentes mais la somme des v(n) est strictement plus petite que celles de u(n).

[fahr451]

Par exemple:
sin(1/k^2) équivalent et de même signe que 1/k^2 en l'infini.

Ainsi les deux séries convergent bien vers la même valeur, mais les séries sont différentes.

.

comment ça ?

les valeurs sont différentes

puisque sinx < x pour x dans ]0,1]

dans l'exemple initial

ce n'est pas 1/k^2 qui n 'est petit que lorsque k est grand mais

k/n^2 qui est petit pour toute valeur de1=< k =<n dès que n est grand

ce qui est fondamentalement différent

donc il est légitime de remplacer froidement le terme par k/n^2 et ensuite d'essayer de prouver la pertinence de ce qu'on a fait.

[quinto]

Ca ne change rien à ce que j'explique et à la non pertinence de la méthode.

[kazeriahm]

comment alors faire sentir ce qui se passe ?

je ne vois pas pourquoi tu emploies un ton si offensif

[fahr451]

ça change tout les sommes sont différentes et non égales

la méthode est pertinente puisqu'elle donne la solution.

[quinto]

ça change tout les sommes sont différentes et non égales

Oui c'est ce que je dis également.

la méthode est pertinente puisqu'elle donne la solution.

De quelle méthode parles-tu ?

Pas celle qui utilise les équivalent en tout cas, comme je viens de le montrer.

[fahr451]

si justement celle la
tu n 'as rien montré

l idée est bien celle la :
k/n^2 est PETIT pour TOUT k avec n grand

donc sin(k/n^2) très proche de k/n^2

et ensuite on fait quelque chose de rigoureux.

[quinto]

et ensuite on fait quelque chose de rigoureux.

Je suis d'accord avec ça, mais il faut le faire, le reste tout seul, n'est pas valable.

a+