Topologie - Ex. 3 sur 3 - Espaces métriques

[Niels]

Bonjour,

Voici le dernier exercice de topologie qui me tracasse :

Soit un espace métrique et
Pour tous les x,y dans E on pose si , 0 sinon.

1) Montrer que est une distance sur E.

2) Soit
Quelle est la boule ouverte de centre b et de rayon d(a,b) dans l'espace métrique ?

3) Soient un espace métrique et une application.
Montrer que (i) (ii) (iii) :
i) L'application f est continue de dans
ii) L'application f est continue en a de dans
iii) L'application f est continue en a de dans

4) Soit A une partie de E
4.a) Montrer que si alors A est ouvert dans E muni de la distance
4.b) On suppose que Montrer que A est ouvert pour ssi A est un voisinage de a pour la distance d.

Pour (1) : pas de pb.

Pour (2) : Je trouve
Bizarre, n'est-ce-pas ?

Pour (3) : (i) => (ii) est évident.
Mais comment doit-on rédiger (ii) => (iii) et (iii) => (i) ?

Enfin, je pense que la question (4) est fortement liée à la réponse apportée à la question (2).
Avez-vous des pistes ?

En tout cas, merci beaucoup pour vos suggestions.
Cordialement,
Erik.

[yos]

Bonjour.
Pour la question 2 :

Donc égalité des deux boules.

[aviateurpilot]

1) evident.
2)
3)j'ai pas encor vu ca en mathsup.
4)
a) supposons A n'est pas ouvert dans .

donc ouvert dans .
b)si tu veux qu'on montre que A est une boule de centre a (voisinage de a) je ne sais pas ce j'ai imaginé là, mais je suis sure que j'ai fait une faute :briques: car j'ai trouvé que cette question est fausse.

on prend avec

si
si ,
donc A est ouvert et A n'est pas un voisinage de A
sauf si voisinage de a signifie aune autre chose

[yos]

Ah tiens j'avais pris a pour centre de la boule, alors que c'est b. Heureusement aviateurpilote veille au grain.

[Niels]

C'est bon, je crois avoir résolu cet exercice.

Merci pour votre soutien :-)

Niels.