Bonjour,
Voici un autre exercice de Topologie pour lequel j'aurais besoin de votre aide :
1) Soit un espace métrique. Montrer que est continue ssi pour tout les ensembles et sont fermés.
2) Soient un espace métrique, un espace métrique compact et une fonction continue. On pose et Montrer que et sont des fonctions continues sur
Pour (1), je dis que si est continue, alors pour tout fermé de , est un fermé de En particulier, et sont fermés. Mais pour la réciproque, j'ai besoin de votre aide ! En effet, j'ai trouvé la piste suivante, qui ne me satisfait pas complètement :
Si pour tout les ensembles et sont fermés, alors pour tout et pour tout les ensembles et
La question est «existe-t-il tel que pour tout , » ?
Cela équivaut à se demander : «est-ce-que est un voisinage de » ?
Et la réponse est oui car c'est un ouvert contenant
Peut-être auriez-vous une autre piste, plus rapide ?
Mais pour le (2), je ne vois pas du tout comment faire !
Bien sûr, on peut commencer par fixer un afin de montrer que est continue en
Puis j'utilise la compacité de pour dire que le sup de la fonction continue est atteint. Donc , le dépendant (uniquement) de
J'aboutis donc à
Mais le problème est qu'on ne sait rien à priori de la continuité de , n'est-ce pas ?
Merci d'avance pour vos suggestions !
Cordialement,
Niels.