Bonjour,
Voici un autre exercice de Topologie pour lequel j'aurais besoin de votre aide :
1) Soit
un espace métrique. Montrer que
est continue ssi pour tout
les ensembles
\leq t\})
et
\geq t\})
sont fermés.
2) Soient
un espace métrique,
un espace métrique compact et
une fonction continue. On pose
=\sup_{y\in Y}f(x,y))
et
=\inf_{y\in Y}f(x,y).)
Montrer que
et
sont des fonctions continues sur
Pour
(1), je dis que si
est continue, alors pour tout fermé
de
,
)
est un fermé de
En particulier,
)
et
)
sont fermés.
Mais pour la réciproque, j'ai besoin de votre aide ! En effet, j'ai trouvé la piste suivante, qui ne me satisfait pas complètement :
Si pour tout
les ensembles
et
sont fermés, alors pour tout
et pour tout
les ensembles
>a\})
et
0.)
La question est «existe-t-il
tel que pour tout
)
,
-f(x)|<\varepsilon)
» ?
Cela équivaut à se demander : «est-ce-que
-\varepsilon,f(x)+\varepsilon[))
est un voisinage de
» ?
Et la réponse est oui car c'est un
ouvert contenant
Peut-être auriez-vous une autre piste, plus rapide ?
Mais pour le (2), je ne vois pas du tout comment faire !Bien sûr, on peut commencer par fixer un
afin de montrer que
est continue en
Puis j'utilise la compacité de
pour dire que le sup de la fonction continue
)
est atteint. Donc
 = f(x_0,y_0))
, le
dépendant (uniquement) de
J'aboutis donc à
=f(x,y_x).)
Mais le problème est qu'on ne sait rien à priori de la continuité de
, n'est-ce pas ?
Merci d'avance pour vos suggestions !
Cordialement,
Niels.
