Défi 2.9

par **yos** » 12 Juin 2007, 14:42

Montrer que

est irrationnel.

par **emdro** » 12 Juin 2007, 14:45

Si n>1 ?????????

par **yos** » 12 Juin 2007, 14:48

emdro a écrit:Si n>1 ?????????

à ton avis?

par **emdro** » 12 Juin 2007, 14:57

Un petit manque d'humour en ce début d'après-midi?

par **yos** » 12 Juin 2007, 15:03

emdro a écrit:Un petit manque d'humour en ce début d'après-midi?

C'est sûr, à l'écrit on peut l'interpréter ainsi. Désolé en ce cas (de ma sèche réponse et de ne pas avoir vu l'humour de ton message).

par **Imod** » 12 Juin 2007, 16:25

Un exercice que j'ai déjà fait il y a quelques années . On considère

l'ensemble des nombres premiers et pour

une partie finie de

,

-espace vectoriel engendré par

. On démontre alors par récurrence sur

que :
1°)

est un corps .
2°) Si

est un entier premier n'appartenant pas à

et x un entier non nul et non multiple de

alors

.
3°)

est une base de

.

La conclusion découle directement du 3°) .

Imod

par **yos** » 12 Juin 2007, 17:00

J'ai fait un truc qui doit revenir au même :
Soit

,

la suite croissante des nbs premiers,

le plus grand nombre premier

.
Si

, alors

,
donc

, mais d'après la théorie de Galois, les seules extensions quadratiques incluses dans

sont les

(le produit étant pris sur les parties non vides de {1,...k-1}). Aucune d'elle n'est

(L'égalité

équivaut à d/d' est un carré parfait).

par **yos** » 12 Juin 2007, 18:07

Imod a écrit:On démontre alors par récurrence sur que :
1°) est un corps .
2°) Si est un entier premier n'appartenant pas à et x un entier non nul et non multiple de alors .
3°) est une base de .

La conclusion découle directement du 3°) .

C'est le point 2°) qui me semble crucial.

Mais bon c'est ce que je pensais : pas trop d'astuce mais de la théorie des corps. Pourtant cet exo se trouve dans un livre d'oral de capes.

A toi le flambeau Imod.

par **Imod** » 12 Juin 2007, 18:42

yos a écrit:pas trop d'astuce mais de la théorie des corps. Pourtant cet exo se trouve dans un livre d'oral de capes.

C'est là que je l'avais vu la première fois et si la méthode que je propose utilise peu de GROS résultats sur les extensions de corps elle nécessite tout de même un "petit" bagage .

Imod

par **yos** » 12 Juin 2007, 21:22

Imod a écrit: si la méthode que je propose utilise peu de GROS résultats sur les extensions de corps elle nécessite tout de même un "petit" bagage .

Je me permets cette critique de cette méthode : elle semble vouloir s'abaisser au niveau mathsup au prix d'artifices tordus. Je préfère les bons outils : on voit mieux ce qui se passe. De plus il n'y a pas besoin d'avoir fait M1 pour voir l'essentiel.
Mais bon ça m'intéressait de voir comment on fait ça avec des outils de Capes (donc de terminale C), et sur ce point j'ai ma réponse.

par **Imod** » 12 Juin 2007, 23:12

yos a écrit:Je me permets cette critique de cette méthode : elle semble vouloir s'abaisser au niveau mathsup au prix d'artifices tordus. Je préfère les bons outils : on voit mieux ce qui se passe. De plus il n'y a pas besoin d'avoir fait M1 pour voir l'essentiel.

J'avais eu l'idée de cette démonstration quand je préparais l'oral du Capes il y a bien longtemps , personnellement je n'y vois pas d'artifice tordu . Mais bon , je ne cherche pas à critiquer ta méthode , d'autant que j'ai toujours eu un faible pour celles qui donnent du sens à la solution :we:

Imod

PS : je suis prof en collège depuis 25 ans et je ne suis pas au fait des programmes du supérieur , si la tienne est compréhensible par un mathsup , le niveau n'a sûrement pas baissé .

par **yos** » 13 Juin 2007, 10:48

Imod a écrit: si la tienne est compréhensible par un mathsup , le niveau n'a sûrement pas baissé .

Non je me suis mal fait comprendre. Du moment où on dit "Galois" , un mathsup ne peut peut pas la comprendre. Et c'est justement le point crucial de la preuve. Tout le reste (corps obtenus en ajoutant des éléments à Q ...) on peut le faire en L1 dans un DM et c'est d'ailleurs ce qui se pratique.

Disons qu'un prof de math, avec de vieux souvenirs de maîtrise, sait en gros que les corps intermédiaires sont décrits par la théorie de Galois et ça suffit pour qu'il voit la preuve.

Pour ta preuve, chapeau puisque c'est ton idée.

par **BiZi** » 13 Juin 2007, 20:07

Bonjour,

Existe-t-il une solution (pas trop compliqué) niveau terminale S (spé maths)? Si oui merci de ne pas la donner tout de suite :happy2:

par **yos** » 13 Juin 2007, 20:31

BiZi a écrit:Bonjour,

Existe-t-il une solution (pas trop compliqué) niveau terminale S (spé maths)? Si oui merci de ne pas la donner tout de suite :happy2:

Bof.
Tu peux chercher un cas particulier comme montrer que

voire :

.

par **olivthill** » 13 Juin 2007, 22:07

Racine carrée de deux est un nombre irrationnel.
Donc, pour que la suite ne soit pas irrationnelle, il faudrait que la somme des autres racines tendent vers l'opposé de racine de deux +/- n, ce qui n'est pas le cas.

par **Imod** » 13 Juin 2007, 22:47

BiZi a écrit:Existe-t-il une solution (pas trop compliqué) niveau terminale S (spé maths)? Si oui merci de ne pas la donner tout de suite :happy2:

Je crains que non , sous son aspect très simple le problème cache une vraie difficulté . Un minimum de connaissances sur la structure d'espace vectoriel et de corps est indispensable .

Imod

par **yos** » 13 Juin 2007, 23:05

olivthill a écrit:Racine carrée de deux est un nombre irrationnel.
Donc, pour que la suite ne soit pas irrationnelle, il faudrait que la somme des autres racines tendent vers l'opposé de racine de deux +/- n, ce qui n'est pas le cas.

Il n'y a pas de suite. Il y a un réel et on veut prouver qu'il est irrationnel.

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