Défi 2.6

par **alben** » 11 Juin 2007, 17:19

Désolé BQss, en rendant moi message invisible, j'avais pensé permettre à ceux qui avaient envie de chercher de le faire.
Pour me faire pardonner (et aussi parce que je n'ai pas de stock d'énigmes) je propose une histoire de proba

Six personnes portant chacune un chapeau se rendent au restaurant et déposent leurs couvre-chefs avant de déjeuner. Après un repas bien arrosé, elles reprennent chacun un chapeau au hasard car elles ne sont pas en état de choisir.
1 Quelle est la probabilité qu'aucune ne reprenne son propre chapeau.
2 généralisation à n personnes et n chapeaux et limite de la probabilité.
Il est intéressant d'essayer de répondre à la question finale avant de faire les calculs, on risque d'être surpris.

par **emdro** » 11 Juin 2007, 17:44

Elle ne tend pas vers 1/e cette probabilité, quand n tend vers l'infini?

C'est de mémoire, et cela date d'il y a 10 ans, alors rien de moins sûr...

par **BQss** » 11 Juin 2007, 17:46

alben a écrit:Désolé BQss, en rendant moi message invisible, j'avais pensé permettre à ceux qui avaient envie de chercher de le faire.
Pour me faire pardonner (et aussi parce que je n'ai pas de stock d'énigmes) je propose une histoire de proba

Six personnes portant chacune un chapeau se rendent au restaurant et déposent leurs couvre-chefs avant de déjeuner. Après un repas bien arrosé, elles reprennent chacun un chapeau au hasard car elles ne sont pas en état de choisir.
1 Quelle est la probabilité qu'aucune ne reprenne son propre chapeau.
2 généralisation à n personnes et n chapeaux et limite de la probabilité.
Il est intéressant d'essayer de répondre à la question finale avant de faire les calculs, on risque d'être surpris.

1)5*4*3*2*1/(6*5*4*3*2*1)

2)
(n-1)!/n!
lim 1/n donc 0

si le nombre de personne tend vers l'infini au moins une personne trouvera sont chapeau presque surement...

par **alben** » 11 Juin 2007, 17:49

@emdro : si
@BQss : non

par **emdro** » 11 Juin 2007, 17:50

Eh bien, chapeau la mémoire!

par **BQss** » 11 Juin 2007, 17:51

qu'est c'qui ne colle pas avec ma reponse alben?
tu ne trouves pas comme moi?

:
le premier a 5/6 de ne pas prendre son chapeau
4/5 pour le deuxieme
3/4 ...
2/3
1/2

ca fait donc 5!/6!

ce qui donne 1/n! comme generalisation.

j'ai trouvé ma faute... je retente en denombrant correctement, parce que comme ca j'ecarte les choix ou on a pris son chapeau avant et donc ou la proba vaut 0.

par **yos** » 11 Juin 2007, 17:53

BQss a écrit:1)5*4*3*2*1/(6*5*4*3*2*1)

2)
(n-1)!/n!
lim 1/n donc 0

T'as répondu au hasard?

par **BQss** » 11 Juin 2007, 17:54

non j'ai fait un calcul sans denombrement qui s'avere faux . voir plus haut.

par **yos** » 11 Juin 2007, 17:55

On peut le faire avec la formule de Poincaré. Pour obtenir

par **Imod** » 11 Juin 2007, 17:57

Je connaissais le problème avec des lettres et des enveloppes . Ce qui est surprenant c'est que quelque soit le nombre de chapeaux ( ou d'enveloppes ) il y a en moyenne une personne qui part avec son chapeau ( ou son courrier ) .

Imod

par **yos** » 11 Juin 2007, 18:02

Imod a écrit:Ce qui est surprenant c'est que quelque soit le nombre de chapeaux ( ou d'enveloppes ) il y a en moyenne une personne qui part avec son chapeau ( ou sont courrier ) .

Et c'est bien plus facile à établir que la question précédente (disons qu'on peut le faire en TS alors que Poincaré...)

par **alben** » 11 Juin 2007, 18:04

Chapeau !
ça n'aura pas tenu longtemps.
A toi la main yos

par **BQss** » 11 Juin 2007, 18:11

Ok j'ai le denombrement avec 15 minutes de retard:

6!- 1 - 6 - C(2,6) - C(3,6) - C(4,6) - C(5,6)

et on divise par 6!

je vais essayer de retomber sur le resultat en generalisant a partir de ca.

n! moins somme C(k,n) de 0 a n-1.

Divisant par n!

donc ma formule:

donc avec le binome de newton ca donne

par **BQss** » 11 Juin 2007, 18:20

On tombe sur la demo de Yos?

Zut moi ca retend vers 1 lol.

Yos ton avis sur l'erreur de mon calcul, je n'en vois pas :doh: .

par **alben** » 11 Juin 2007, 18:35

Si tu veux faire directement le dénombrement, il te faut établir une formule de récurrence. Si tu rajoutes un élément n+1, il y a deux possibilités :
1 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui d'un des personnages. Cela donne n fois le nombre de possibilités pour n-1.
2 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui qu'aurait pris un des personnages (et qui n'est pas le sien) n fois le nombre de possibilités pour n chapeau.
Finalement, on trouve comme relation de récurrence sur le nombre de possibilités avec n personnes : X(n+1)=nX(n)+nX(n-1)

par **yos** » 11 Juin 2007, 18:35

BQss a écrit:Yos ton avis sur l'erreur de mon calcul, je n'en vois pas :doh: .

Ben tu retires pas du tout ce qu'il faut à 6!

par **BQss** » 11 Juin 2007, 18:47

yos a écrit:Ben tu retires pas du tout ce qu'il faut à 6!

Recapitulons parce que la je rouille:
je compte toutes les possibilités, puis j'enleve le nombre de tirage ou tout le monde a son chapeau soit 1, puis le nombre de tirage ou une personne n'a pas son chapeau soit 6(je vois l'erreur...), puis le nombre de tirage ou 2 personnes n'ont pas leur chapeau soit C(2,6) ... ok ca plante, j'ai juste enelevé le nombre de maniere de prendre les deux personnes sans chapeau lol, sans compter les combinaisons de chapeau qu'ils avaient. et etc.

Lol en plus j'ai meme pas fait attention a ce que une personne toute seule ne pouvait pas se retrouver sans son chapeau...

C'etait pas si facile lol.

:briques:

donc je recommence en bas :

par **BQss** » 11 Juin 2007, 19:06

(parmis 6 personne aucun n'a un chapeau)= 6! - 1 - 1 - C(3,6)*(3!-1-3) - C(4,6)*(4!-1-C(2,4)-4*2) - 6*(parmis 5 personnes aucun n'a un chapeau)

J'avais pas vu que le probleme etait aussi chiant on voit en effet qu'il est judicieux d'etablir le resultat pour n parce qu'on a besoin des resultats anterieurs pour denombrer.

Meme pour 6 c'est fastidieux.

par **BQss** » 11 Juin 2007, 19:07

alben a écrit:Si tu veux faire directement le dénombrement, il te faut établir une formule de récurrence. Si tu rajoutes un élément n+1, il y a deux possibilités :
1 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui d'un des personnages. Cela donne n fois le nombre de possibilités pour n-1.
2 le nouvel arrivant permute son chapeau avec celui qu'aurait pris un des personnages (et qui n'est pas le sien) n fois le nombre de possibilités pour n chapeau.
Finalement, on trouve comme relation de récurrence sur le nombre de possibilités avec n personnes : X(n+1)=nX(n)+nX(n-1)

C'est en tentant de denombrer pour n=6 que je me suis rendu compte du caractere reccurent en effet.

Je pensais que c'etait beaucoup plus facile que ca.

par **fahr451** » 11 Juin 2007, 19:17

problème historique des rencontres de malemort

comme déja dit en moyenne un homme tire son chapeau

si X est le nombre de rencontres on a donc E(X) = 1
et encore surprenant Var(X) = 1

problème équivalent à celui des dérangements :permutations sans point fixe.

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