Matrices et Normes

par **Neeb** » 09 Juin 2007, 19:38

Bonsoir,

Mon problème est simple :
Existe t-il des normes N telles que pour toutes matrice inversible B et pour toute matrice A (toute deux de taille nn) N(AB)=N(BA)...

Je pense que non mais en raisonnant par l'absurde je n'arrive pas à trouver d'absurdité... On arrive facilemment à N(A-1CA)=N(C) et on a les normes de deux matrices semblables qui sont égales pour tout A et C mais est-ce absurde ??

Merci à vous !

par **yos** » 09 Juin 2007, 19:48

Neeb a écrit:on a les normes de deux matrices semblables qui sont égales pour tout A et C mais est-ce absurde ??

Oui! Il faut cependant mettre en évidence l'absurdité : c'est la bonne voie.

par **fahr451** » 09 Juin 2007, 20:27

bonsoir pour une telle norme n>=2
i différent de j t réel

(In +tEij) est inversible
(In+tEij)Eki = Eki pour j différent de k

a même norme que
Eki(In+tEij) = Eki +tEkj qui serait donc indépendante de t

or ll tEkj + Eki ll >= l tl llEkj ll -ll Ekill -> +infini pour t ->+infini

absurde
REM je n'ai pas empièté sur ce que proposait yos c'est une autre voie

par **yos** » 09 Juin 2007, 20:35

Il y a sûrement des tas de contradictions à trouver. J'avais pensé à contredire la propriété N(kA)=|k|N(A) par exemple en trouvant une matrice A semblable à 2A, (ce qui est tout à fait facile).

par **yos** » 09 Juin 2007, 20:37

Et comme le fait remarquer Fahr, pour n=1, une telle norme existe.

par **Neeb** » 10 Juin 2007, 15:09

Merci beaucoup, j'ai compris :)

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