Equation différentielle (cf.page 2)

[Guillaume03]

Bonjour, j'ai un problème sur une équation différentielle...
C'est un sujet de BAC de 1988 d'Inde :

y' + y = x + 1 (E)

On pose z = y - x

>>Il faut écrire une équation différentielle (F) satisfaite par z.

Je n'arrive pas à trouver cette équation...
Car y' + y -( z + z') = x + 1 n'as pas un intérêt flagrant...

:help:

Merci d'avance

[emdro]

Hello,

z=y-x
z'=y'-1

Du coup, z+z'=y+y'-(x+1)

et si y est solution de E, le membre de droite est...

[Guillaume03]

satisfait par z...

[emdro]

Le membre de droite est NUL,

donc z'+z=0, ce qui est chouette car on sait résoudre cette équation.

[Guillaume03]

Ok!
Merci, faut le temps que je comprennes que
y' + y = x + 1 donc (x + 1) - (x+1) = 0

>_<

Merci de ton aide!

[Guillaume03]

z' + z = 0 admet pour solution f(x) = C e^(-x)

or z = y - x et z' = y' - 1
donc y' - 1 + y - x = 0
admet pour solution la même chose? :hein:

C'est faux?

:briques:

[emdro]

z' + z = 0 admet pour solution z(x) = C e^(-x)

or z = y - x
donc y=z+x et y(x)= x+C e^(-x)

Ne perds pas le fil
On a du mal avec y; on pose z (fonction auxiliaire), on cherche z, on trouve z, et on revient à y

[Guillaume03]

D'accord, merci encore, je m'en vais finir cet Exo!

:++:

[biotop]

moi jai une autre eq dif que jarrive pas a résoudre , cest :

y'+y= [(x^n) / n!] * exp(-x)

ya peut étre plusieurs étapes à faire non ?

[emdro]

Oui, à coup sûr. Tu dois être guidé normalement.

[biotop]

alors ... on pose : g(x)=h(x)exp(-x)

avec h et g dérivable et on doit montrer que g est solution de lequation dite précédement^^ <=> h' = (x^n) / n!

[emdro]

Mais rassure-toi tu n'es pas obligé de penser à tout cela tout seul en terminale...

[biotop]

lol merci^^ de toute façon j'ai laissé tombé celle ci, la probanilité pour que je tombe sur une de cette forme au bac est faible je pense^^

[emdro]

Non, la probabilité de tomber sur un tel truc est assez forte au contraire. Mais tu seras bien-sûr guidé.

écris g(x)=h(x)e^(-x)
g'(x)=[h'(x)-h(x)]e^(-x)

g est solution de l'équation ssi g+g'=x^n/n! e^(-x)
ssi h(x)e^(-x)+[h'(x)-h(x)]e^(-x)=x^n/n! e^(-x)
ssi h'(x)e^(-x)=x^n/n! e^(-x)
ssi h'(x)=x^n/n!


voilà, c'est idiot!

et cela se finit par
ssi h(x)=x^(n+1)/(n+1)!+k
ssi g(x)=e^(-x)*x^(n+1)/(n+1)!+ke^(-x)

[biotop]

pourquoi +ke^(-x) ? cest obligatoire ?^^

[emdro]

cela dépend si on te demande UNE solution, ou TOUTES les solutions.

si tu en veux une seule, tu peux prendre une primitive au hasard (k=0 si tu veux)
Sinon, pour avoir des équivalences, qd tu connais h', tu dois écrire la constante pour h.

[biotop]

okay merci beaucoup !!

[Guillaume03]

Bonjour, j'ai toujours un problème avec un exercice de BAC de 1988, suis-je plus bête que les bacheliers de cette époque ou était-il plus entraîné que je ne le suis...

Bon... J'ai donc une équation différentielle de type y' + y = x + 1
J'ai donc réussi à trouver sa solution : y(x) = x + Ce^-x ( C constante réelle)

On appelle Yalpha la solution de (E) telle que Yalpha(0) = alpha et (Calpha) la courbe représentative de Yalpha ou alpha est un paramètre donné.

>>>Etudier les variations de Yalpha et donner l'allure de (Calpha) dans les trois cas : alpha > 0, alpha = 0 et alpha 0
donc y strictement croissante sur l'ensemble des réels.

Maintenant pour les autres cas, je rame

J'ai essayé en dérivant deux fois yalpha(x) mais ça marche pas...

[emdro]

1988 c'est l'année de mon bac!

Si cela doit marcher, la dérivée seconde est positive, non?
Tu peux trouver où la dérivée première 1-alpha*e^-x s'annule en résolvant l'équation.

et le tour est joué.

[Guillaume03]

J'ai trouvé une derivée première 1- xalpha e^(-x)
donc ça donne
derivée seconde positive sur R
dérivée première croissante sur R

y'alpha(x) > y'(0) pour tout x sur R+ car la fct est croissante sur R
y'alpha(x) < y'(0) pour tout x sur R- pour la même raison.

mais y'(0) est égale à 1, ça marche pour la premier cas ( supérieur à) mais dans le second cas, ça donne y'alpha(x) < 1 ....
Peut-on écrire y'alpha(x) <(ou égal à) 0 à partir de ça?
Auquel cas, ça marche, je crois...