Limite e^x

par **Pasqua** » 04 Juin 2007, 20:17

Soit f(x) = x / (1 + e^(1/x))

Il faut montrer que la droite d'equation y= (1/2)x - (1/4) est asymptote oblique en + et - l'infini.

Je caclul Lim [f(x) - (1/2)x + (1/4)] mais je ne trouve pas 0. En fait j'arrive à une FI que j'arrive pas à enlever.

On nous dit de poser t=(1/x)

J'arrive à la mettre f sous la forme :

f(x) = (2/t)(1-e^t)+1+e^t

NOTE : Ceci est le numerateur, j'ignore le denominateur qui tend vers 8.

Si quelqu'un pouvait m'eclairer ca serait avec plaisir.

par **anima** » 04 Juin 2007, 20:25

Pasqua a écrit:Soit f(x) = x / (1 + e^(1/x))

Il faut montrer que la droite d'equation y= (1/2)x - (1/4)x est asymptote oblique en + et - l'infini.

Je caclul Lim [f(x) - (1/2)x + (1/4)x] mais je ne trouve pas 0. En fait j'arrive à une FI que j'arrive pas à enlever.

On nous dit de poser t=(1/x)

J'arrive à la mettre f sous la forme :

f(x) = (2/t)(1-e^t)+1+e^t

NOTE : Ceci est le numerateur, j'ignore le denominateur qui tend vers 8.

Si quelqu'un pouvait m'eclairer ca serait avec plaisir.

Je pense que tu t'es trompé en copiant l'énoncé...

Je suis d'accord pour (1/2)x

Ton as. oblique est donc y=x/2 -1/4 et non y=x/2 - 1/4x...

(C'est du hors-programme que j'ai fait pour vérifier. Cependant, c'était pour trouver la "vraie" asymptote oblique.)

par **yos** » 04 Juin 2007, 21:05

et après on pose u=1/x dans le premier facteur.

par **Pasqua** » 04 Juin 2007, 21:27

Oui je me suis trompé en tapant c'est bien (1/2)x - (1/4).

Et ca marche pas :s.

par **anima** » 04 Juin 2007, 21:34

Pasqua a écrit:Oui je me suis trompé en tapant c'est bien (1/2)x - (1/4).

Et ca marche pas :s.

Preuve que ca marche. ET SANS CHANGEMENT DE VARIABLE! :marteau:

par **emdro** » 04 Juin 2007, 21:39

anima a écrit:

Pas de changement de variable, mais pas réglo du tout d'écrire la limite de certains x, en laissant les autres...

par **anima** » 04 Juin 2007, 21:42

emdro a écrit:Pas de changement de variable, mais pas réglo du tout d'écrire la limite de certains x, en laissant les autres...

C'était pour qu'il voie la simplification... (le e^{1/x} tendant vers 1, donc le tout étant simplement pris pour une simple soustraction sans expo, et les 2x se simplifiant)

(Et la notation

est réglo en angleterre, si c'est ce qui te dérange)

par **emdro** » 04 Juin 2007, 21:45

anima a écrit:(Et la notation est réglo en angleterre, si c'est ce qui te dérange)

tout le monde comprend cela.

en revanche, remplacer exp(1/x) par 1 dans la limite en laissant des x à côté, c'est super faux.

Genre, en l'infini: lim exp(x)/x= lim1/x*exp(x)=lim 0*exp(x)=lim 0 =0 ?

par **anima** » 04 Juin 2007, 21:46

emdro a écrit:tout le monde comprend cela.

en revanche, remplacer exp(1/x) par 1 dans la limite en laissant des x à côté, c'est super faux.

Genre, en l'infini: lim exp(x)/x= lim1/x*exp(x)=lim 0*exp(x)=lim 0 =0 ?

Je n'aurai jamais remplacé si c'était une forme indéterminée... Ne me prends pas pour un con non plus, hein :happy2:

Si j'ai laissé des x, c'était simplement pour lui montrer la simplification faite de maniere un peu plus évidente. Et ce que j'ai remplacé ne tendait ni vers zéro, ni vers l'infini.

par **emdro** » 04 Juin 2007, 21:51

anima a écrit:ET SANS CHANGEMENT DE VARIABLE! :marteau:

Là, je me demande qui se moquait des autres...

Bon courage!

par **emdro** » 04 Juin 2007, 21:54

yos a écrit: et après on pose u=1/x dans le premier facteur.

pour revenir à Pasqua, suis cet excellent conseil, et pense à la formule de cours
lim (exp(X)-1)/X lorsque X tend vers 0.

par **yos** » 04 Juin 2007, 23:44

J'ai oublié un 2 en facteur au dénominateur (rectifié dans le message initial).
Pour anima : tu travailles avec 1/2x+1/4 au lieu de 1/2x-1/4.
Comme l'a dit emdro, la méthode est à proscrire : tu as des x qui sont partis à l'infini alors que les autres sont encore sur la ligne de départ. Pour preuve : ton truc tend vers -1/2 et pas vers -1/4.

par **Pasqua** » 05 Juin 2007, 13:22

anima a écrit:

Preuve que ca marche. ET SANS CHANGEMENT DE VARIABLE! :marteau:

Faut pas que ca tende vers 0 pour que y(x) soit une asymptote oblique ??

Je vais essayer avec les conseil de Yos et Emdro mais j'ai pas compris pourquoi vous faites f(x) - (x/2)

par **yos** » 05 Juin 2007, 14:01

Pasqua a écrit:Faut pas que ca tende vers 0 pour que y(x) soit une asymptote oblique ??

Je vais essayer avec les conseil de Yos et Emdro mais j'ai pas compris pourquoi vous faites f(x) - (x/2)

Si f(x)-x/2 tend vers 2367 c'est sûrement que f(x)-x/2-2367 tend vers 0.

par **nico74** » 05 Juin 2007, 14:08

Il doit y avoir une erreur dans ton enoncé

par **nico74** » 05 Juin 2007, 14:23

si on trace la courbe en fait il n y a pas d erreurs

par **nico74** » 05 Juin 2007, 14:31

As tu vu la règle de L'Hôpital ?

Parce que ça marche très bien avec

par **emdro** » 05 Juin 2007, 14:32

Bonjour,

il semble qu'on ait du mal avec cet exo!

On est d'accord, prouver que lim[f(x)-ax]=b ou que lim[f(x)-(ax+b)]=0, c'est pareil. Ta définition de l'asymptote oblique utilise la deuxième écriture, mais pour simplifier, on peut prendre la première.

Alors x/(1+exp(1/x))-x/2=x*(1-exp(1/x))/[2(1+exp(1/x))]
En posant t=1/x (t tend vers 0)
on obtient [(1-exp(t))/t]/[2(1+exp(t))]ou encore [(exp(t)-1)/t]/[-2(1+exp(t))].

D'après le cours, le premier crochet tend vers 1. Le deuxième tend vers -4.
Le tout tend donc vers -1/4.

Conclusion: lim[f(x)-x/2]=-1/4.
D'où lim[f(x)-(x/2-1/4)]=0.
et la droite d'équation y=x/2-1/4 est asymptote à Cf au voisinage de plus l'infini, et de moins l'infini pour la même raison.

par **nico74** » 05 Juin 2007, 14:38

C'est dans le cours que

tend vers 1 quand t tend vers 0 ?

Parce que je me casse la tete depuis tout a l'heure a le montrer sans passer par les DL

par **emdro** » 05 Juin 2007, 14:45

Oui, Nico, c'est dans le cours.

Cela provient de la dérivabilité de exp en 0
D'ou lim (exp(x)-exp(0)/(x-0) =exp'(0).

Cela donne directement le résultat.

C'est au programme au même titre que
lim sin(x)/x=1 (quand x tend vers 0)
lim (ln x)/(x-1)=1 (quand x tend vers 1).

Et c'est à chaque fois la même raison.

Note bien que c'est un argument de dérivabilité, donc un DL d'ordre 1.

Limite e^x

Limite e^x

Qui est en ligne