Fonction

[kathleen]

bonsoir a tous un petit exercice que j'arrive pas a faire
on considere la fonction f definie par f(x)=x(1-x) sur R
1) demontrer que f(x) inferieur ou egal a 1/4 pour tous x appartient a R
2) en deduire que la fonction admet un maximum en x=1/2
merci de votre aide
kath

[anima]

bonsoir a tous un petit exercice que j'arrive pas a faire
on considere la fonction f definie par f(x)=x(1-x) sur R
1) demontrer que f(x) inferieur ou egal a 1/4 pour tous x appartient a R
2) en deduire que la fonction admet un maximum en x=1/2
merci de votre aide
kath

La premiere est fastoche; tu développes, et tu utilises la propriété du sommet d'une parabole; si la concavité est tournée vers le bas (ce qui est le cas), alors le sommet est limite.
f(x)=x-x^2.
Sommet en X(1/2,1/4). Bingo. Tu as résolu les 2 questions d'un coup.

Sinon, plus fastidieux. Supposons que la propriété est vraie. Alors x(1-x) - 1/4 <= 0
Alors -x^2+x-1/4 <= 0
Delta: 1-1=0; une solution au polynome: x=1/2.
Poly du signe de a, sauf entre les racines; donc du signe de a sur R-{1/2}, cad négatif.
Vérifié pour tout R.

[oscar]

Bonsoir

f(x) =x(1-x)=x - x²

1) f(x) <=1/4
<=> x(1-x)-1/4<=0
x-x² -1/4<=0

4x² -4x +1>=0
(2x-1)²>=0 pour tout x €R

f'(x) =1-2x racine 1/2 f(1/2)= 1/4

2)Etude de signes
x-oo.................1/2................+oo
f'++++++++++++0-----------------
f-oo//////////////1/4\\\\\\\\\\\\\\-oo
.......................MAX

On a une PARABOLE dont le maximum a lieu pour x= 1/2:Ii vaut 1/4
Son sommet est (1/2:1/4)