Famille libre

[ichigo974]

Bonjour :
Dans l'éxercice on se palce dans le plan P euclidien, on prend u et v unitaire et on pose s = (u|v)

a)Montrer que (u,v) est libre si et seulement si |s| est différent de 1
j'ai donc raisonné par l'absurde en considérant s=1 on à alors v=1/u
et donc écrire au+bv=0 revient à résoudre au²+b=0 donc peut on en déduire que ce systéme admet une infinité de solution?

b)On suppose (u,v) libre (a,b) étant choisi dans R² montrer qu'il existe un unique vecteur x de P tel que (u|x)=a et (v|x)=b

[kinounou]

Pour la question 1:
on part- de au+bv=0 et on fait le produit scalaire avec u on aura a+bs=0,
on reprend au+bv=0 et on fait le produit scalaire avec v, on obtient as+b=0 puisque u et v sont de norme 1.
On veut que le système as+b=0, a+bs=0 admette l'unique solution (0,0). En résolvant on trouve s^2=1 .

[ichigo974]

Pour la 2) on cherche x tel que u.x=a et v.x=b donc on veut x tel que
x= a/u = b/v
soit a.u=b.v a.u-b.v=0 ceci impore puisque la famille est libre a=b=0 donc x=0 ??

[kinounou]

Pour la seconde, je propose:
(u,v) est libre donc c'est une base de R^2. On considère l'application f de R^2 dans R^2 telle que f(x)=((u/x),(v/x)). f est linéaire et son noyau est réduit à 0 car tout x tel que f(x)=0 vérifiera (x/y) = 0 pour tout y de R^2 (y= combinaison linéaire de u et v). f est alors un endomorphisme de R^2 injectif donc bijectif et donc pour tout (a,b) de R^2 il existe x dans R^2 tel que (a,b)=f(x).

[fahr451]

Bonjour :
Dans l'éxercice on se palce dans le plan P euclidien, on prend u et v unitaire et on pose s = (u|v)

a)Montrer que (u,v) est libre si et seulement si |s| est différent de 1
j'ai donc raisonné par l'absurde en considérant s=1 on à alors v=1/u

bonjour

v = 1/u n'a aucun sens puisque u est un vecteur

cela vient du cas d'égalité dans l'inégalité de cauchy schwarz

[aviateurpilot]

a)Montrer que (u,v) est libre si et seulement si |s| est différent de 1

donc

b)On suppose (u,v) libre (a,b) étant choisi dans R² montrer qu'il existe un unique vecteur x de P tel que (u|x)=a et (v|x)=b

soit
tel que

d'ou existe dans et il est unique.

[fahr451]

finalement on dirait bien cauchy schwarz