|1+z+...+z^(n-1)|=n|z^n|

[xunil]

Voilà, tout est quasiment dans le titre:
sous quelles conditions a-t-on: |1+z+...+z^(n-1)|=n|z^n| ? ( z complexe)
Je sais que |u+v|=|u|+|v| ssi u=µv avec µ réel positif, et que cette dernière proposition se généralise à n termes, mais je n'arrive pas à résoudre celle de mon titre.
Est-ce que quelqu'un pourrait m'aiguiller pour cette démonstration ( faut il se servir de |u+v|=|u|+|v|) ?

Merci

[Pythales]

Tu as déja une solution avec

[yos]

et pas de solution avec |z|>1.

[xunil]

oui, effectivement, si |z|>1, il n'y a pas de solution:
si |z| > 1, alors pout tt i compris entre 0 et n, on a: |z|^i < |z|^n et donc:
|1+z+...+z^(n-1)| < n |z|^n. Donc, |z| <= 1 (et z=1 est effectivement une solution).
Même si j'ai réduit l'ensemble des solutions, je ne les ai tjs pas !

[xunil]

personne n'a d'idées ? :help:

[xunil]

un petit up , si qqu'un a une idée ??

[yos]

Une solution de module 1 () donnerait sin nt = nsin t, ce qui doit entraîner z=1 "assez" facilement.

[xunil]

Une solution de module 1 (z=e^{it}) donnerait sin nt = nsin t ...

Je n'arrive pas tout à fait à ce résultat:
On a:

d'où:
ssi
pour ie on a donc: ie
or , et
D'où: ssi , ce qui n'est pas tout à fait sin nt = nsin t ?? Me goure-je ?

PS: je viens juste de me mettre à LaTex (pour rendre ce post lisible), c'est excellent ce truc !!

[yos]

Oui j'ai fais ça sans l'écrire. Tu devrais pouvoir l'exploiter tout de même.

[redwolf]

N'oublions pas que les racines du polynôme que l'on obtient en supprimant les valeurs absolues répondent à la question.
De plus, le théorème des valeurs intermédiaires donne une infinité d'autres solutions du moment qu'on a trouvé un point avec l'inégalité stricte comme ça : , ce qui n'est pas difficile.

Pour , on obtient une belle courbe que l'on peut décrire assez explicitement.
Quand croit, on obtient une courbe de solutions qui se tasse sur le cercle unité. La seule solution qui convient pour tout est .