Défi 2.2

[fahr451]

soit l équation différentielle sur R +

y " + y p(x) = 0
avec p continue et l'intégrale de t p(t) absolument convergente sur R+
montrez que toute solution est un grand O de x au voisinage de l'infini.

[yos]

Je fais remonter pour pas qu'on l'oublie. J'ai un peu regardé et j'ai pas grand chose.

[yos]

Avec Taylor reste intégral, ça doit le faire, mais il est un peu tard pour que je je l'écrive. D'ailleurs j'ai un terme incontrolable pour l'instant.

[B_J]

par l'absurde ?

[road runner]

un petit indice pour nous fahr ?

[namfoodle sheppen]

en utilisant la formule de taylor avec reste intégral ; soit y une solution de (E) ;
y(x)=y(0)+xy'(0)-intégrale (0->x) ty"(t) dt
d'où y'=y'(0)+p(t)*t*y
on a une équation différentielle de première ordre : en résolvant l'equation sans second membre associée on trouve une fonction Cy0 (avec C arbitraire) admettant une limite finie en l'infini (puisque tp(t) est intégrable sur R+; on note A sa borne supérieure sur R+ et B sa borne inf). On a Ce(B)<=Cy0<= Ce(A)
reste donc la recherche d'un solution particulière; avec la méthode de la variation de la constante on trouve une solution de la forme :
y=C(x)y0
où C'(x)=y(0)'e(-integrale((0->x)tp(t)dt))
or comme y'(0)e(-A)<=C'<=y(0)'e(-B), y'(0)e(-A)*x<=C(x)<=y'(0)e(-B)*x
et donc C(x) est un grand O de x en l'infini.
On en conclut que y est un grand O de x en l'infini

[Blueberry]

Bravo namfoodle sheppen ! Maintenant il faudrait que tu proposes un nouveau défi.

[fahr451]

bonjour

ça semblait bien mais la formule de taylor est fausse.
l'idée est quand même d'écrire fort naturellement y en fonction de y" (intégrale double) puis d'utiliser un lemme classique dans les équas diffs

lemme de grunwald

[Alpha]

Ne serait-ce pas plutôt le lemme de Gronwall?

[fahr451]

ah alpha j'ai toujours eu du mal à écrire mon propre nom alors c'est fort possible
j'ai failli me limiter à écrire un lemme classique mais je savais bien qu'on me demanderait lequel