Meilleur approximant et somme de Fourrier

[Emilie62]

Bonsoir ,

Besoin d'aide avec un exo :

Pourquoi une somme de Fourrier d'ordre n d'une fonction f est-elle le meilleur approximant de f dans l'espace V engendré par les fonctions

1, sin(t), cos(t), sin(2t), cos(2t), ... ,sin(nt), cos(nt) ?



De plus, je ne sais pas ce qu'est une fonction de Fourrier.
Merci de m'aider.

[yos]

C'est la fonction de V la plus proche de f dans la mesure où c'est la projection orthogonale de f sur V (au sens du produit scalaire intégral).

[Emilie62]

C'est la fonction de V la plus proche de f dans la mesure où c'est la projection orthogonale de f sur V (au sens du produit scalaire intégral).

Ca c'est la définition du meilleur approximant !?

Mais là avec les sommes de fourrier , ca donne quoi ?

[yos]

Je ne suis pas sûr de comprendre ta question. Je reformule ce que je dis : le projeté orthogonal d'un point M sur un sous-espace V est le point de V le plus proche de M. Je pense que tu es d'accord avec ça.
Ici le point M c'est une fonction f, le sous-espace (de l'espace des fonctions continues , 2pi-per...)c'est celui engendré par les fonctions 1, sin t, cos t, ..., cos nt. Son projeté orthogonal sur V , c'est la somme de Fourier d'ordre n de f.

[Emilie62]

Okkk !

En fait, je ne sais pas ce ke sont les séries ( sommes ? ) de fourrier... dc jne comprends pas ke ce soit les fonctions les + proches de f dans la base V !

[yos]

Tu as une base (orthonormée) de V :

(1, sin(t), cos(t), sin(2t), cos(2t), ... ,sin(nt), cos(nt) )

La somme de Fourier g d'ordre n de f s'écrit donc dans cette base : .
Le produit scalaire de g par donne

[thomasg]

Bonjour,

le but de ce message est juste peut-être de reformuler les réponses précédentes en détaillant un peu plus ou différement.

Tout d'abord il me semble que les fonctions f dont on parle sont des fonctions 2pi périodiques intégrables.

on détermine un produit scalaire sur l'ev de ces fonctions.

=(int conjuguéf*g)/2pi et la norme associée.

la famille que tu propose est alors orthonormale. On peut alors définir la projection orthogonale pn sur ce sev que nous nommerons Pn.

on peut alors montrer (comme on le ferait pour tout autre produit scalaire, dans tout autre espace préhilbertien) que:

inf||f-g|| pour les g de Pn=||f-pn(f)||.

ce qui conclu à la question posée.


si tu souhaite des références en littérature tu peux consulter le Gourdon, pages 256 et 257.

A bientôt.