je voudrai que vous m'aidiez à démontrer de manière detaillée la proposition suivante:
" On a bijection entre les idéaux de A\I et et es idéaux de A contenant I via l'application :
avec I un idéal de A "
et merçi infiniment !!!
Idéaux d'un anneau
11 messages
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Idéaux d'un anneau
par barbu23 » 23 Mai 2007, 16:25
Bonjour:
je voudrai que vous m'aidiez à démontrer de manière detaillée la proposition suivante:
" On a bijection entre les idéaux de A\I et et es idéaux de A contenant I via l'application :
: { Idéaux de A contenant I } 
{ Idéaux de A\I } .
avec I un idéal de A "
et merçi infiniment !!!
je voudrai que vous m'aidiez à démontrer de manière detaillée la proposition suivante:
" On a bijection entre les idéaux de A\I et et es idéaux de A contenant I via l'application :
avec I un idéal de A "
et merçi infiniment !!!
par barbu23 » 23 Mai 2007, 16:27
Comment démontrer d'abord que est bien définie et merçi infiniment !!!
par abcd22 » 23 Mai 2007, 16:36
Bonjour,
(Pas besoin de cedille devant un i...)
Pour montrer que
est bien definie il suffit de montrer qu' on obtient bien un ideal de A/I a l'arrivee, on revient a la definition d'un ideal : on prend donc des elements 
et 
de 
, il faut montrer que 
et 
sont bien dans , et que pour tout
, 
, en utilisant les definitions des lois de l'anneau A/I et le fait que J est un ideal de A on a ce qu'on veut.
(Pas besoin de cedille devant un i...)
Pour montrer que
par barbu23 » 23 Mai 2007, 17:30
Bonjour abcd22 :
D'abord, merci de m'avoir repondu...
Alors d'après ce que tu m'as dit, si
est un idéal de 
contenant 
alors  $)
est un idéal de A\I : alors il faut d'abord montrer que:
est un sous groupe abelien de A\I pour la loi :"+" et  \in A \setminus I \times \pi (J) $)
:  $)
:
Maintenant jusqu'ici c'est compris !!
Pour la suite :
Soient $)
:
 \in J \times J $)
:  $)
et  $)
.
On a : + \pi(y) $)
.
est ce que tu peux m'aider dans la suite, est ce que est un morphisme d'anneau pour pouvoir continuer, je ne sais pas comment terminer cette partie et merçi infiniment !!!
D'abord, merci de m'avoir repondu...
Alors d'après ce que tu m'as dit, si
Maintenant jusqu'ici c'est compris !!
Pour la suite :
Soient
On a :
est ce que tu peux m'aider dans la suite, est ce que
par fahr451 » 23 Mai 2007, 17:45
barbu23 a écrit:, est ce que
bonsoir
où serait les anneaux?
par Daniel-Jackson » 23 Mai 2007, 19:18
Bonsoir barbu23 :
Premièrement je suppose que ton anneau A est commutatif ? Autrement on parlerait d'idéaux bilatères et autres ..., non ? Et les structures quotient ne seraient pas trop "exploitables" ....
Donc je suppose que A est commutatif. I un idéal de A :
La construction du quotien A/I te dit déjà que le morphisme est un morphisme d'anneaux surjectif !
Et quand on a on a un morphisme d'anneaux alors: f:A---->B
a) l'image réciproque d'un idéal de B est un idéal de A quelque soit le morphisme d'anneaux f qu'on a .
b) l'image d'un idéal de A est un idéal de B si f est surjectif !
Pour la dernière la chose qui pose probleme c'est la multiplication par un scalair de B. Pour le voir tu dois vérifier que si J est un idéal de A alors f(J) est un idéal de B et tu utilise la surjectivité pour montre que si)
alors quelque soit 
on a )
La stabilité par la loi + est triviale .
Bon courage .
Premièrement je suppose que ton anneau A est commutatif ? Autrement on parlerait d'idéaux bilatères et autres ..., non ? Et les structures quotient ne seraient pas trop "exploitables" ....
Donc je suppose que A est commutatif. I un idéal de A :
La construction du quotien A/I te dit déjà que le morphisme
Et quand on a on a un morphisme d'anneaux alors: f:A---->B
a) l'image réciproque d'un idéal de B est un idéal de A quelque soit le morphisme d'anneaux f qu'on a .
b) l'image d'un idéal de A est un idéal de B si f est surjectif !
Pour la dernière la chose qui pose probleme c'est la multiplication par un scalair de B. Pour le voir tu dois vérifier que si J est un idéal de A alors f(J) est un idéal de B et tu utilise la surjectivité pour montre que si
La stabilité par la loi + est triviale .
Bon courage .
par Daniel-Jackson » 23 Mai 2007, 20:26
J'avais oublié un détail . Le fait que l'image réciproque d'un idéal de A/I est un idéal de A contenant I c'est parce que tout idéal de A/I contient l'élément de neutre qui est la classe nulle donc I .
Et inversement si J contient I alors on peut restreindre la surjection cananonique à J . En effet une structure quotient J/I n'est envisageable que si I est inclus dans J ....
Et inversement si J contient I alors on peut restreindre la surjection cananonique
par fahr451 » 23 Mai 2007, 20:35
il serait bon de ne pas confondre pi projection canonique
A->A/I x->classe(x)
et le pi de l'énoncé initial
A->A/I x->classe(x)
et le pi de l'énoncé initial
par Daniel-Jackson » 23 Mai 2007, 20:41
fahr451 a écrit:il serait bon de ne pas confondre pi projection canonique
A->A/I x->classe(x)
et le pi de l'énoncé initial
Tu as raison , j'ai pas fait gaffe aux notations .
En effet j'ai pour habitude d'appeler Pi la surjection canonique .
L'application considérée ici est c'est vrai une application entre deux ensembles , et n'est à priori pas un morphisme .
Merci de l'avoir souligné
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