Vp d'une matrice sans connaitre la matrice

[cyrillll]

j'ai un probleme pour resoudre un petit exercice.
Soit A€M3(R) et A différent de I3le
Trouver les valeurs propre de A sachant que (A-I3)²=0

Il me semble que 1 est valeur propre double mais je ne sait pa comment l'explique

Apres il faut trouve P tq B:=P^-1*A*P= 100
011
001

Merci beaucoup
Cyril

[Daniel-Jackson]

j'ai un probleme pour resoudre un petit exercice.
Soit A€M3(R) et A différent de I3le
Trouver les valeurs propre de A sachant que (A-I3)²=0

Il me semble que 1 est valeur propre double mais je ne sait pa comment l'explique

Apres il faut trouve P tq B:=P^-1*A*P= 100
011
001

Merci beaucoup
Cyril

Pour la valeur propre : Tout polynome annulateur d'une matrice annule également ses valeur propres ... il suffit de l'écrire . En gros les valeurs propres font partie des racines de ton polynome annulateur ....

[cyrillll]

merci donc 1 vp double d'ou les 2 premier vecteur de la matrice de passage (1,0,0) et (0,1,0) mais le 3ème. la seul condition est elle qu'il forme une base avec les 2 autres ?
merci

[Daniel-Jackson]

merci donc 1 vp double d'ou les 2 premier vecteur de la matrice de passage (1,0,0) et (0,1,0) mais le 3ème. la seul condition est elle qu'il forme une base avec les 2 autres ?
merci

En gros on te demande de trouver 3 vecteurs
qui forment une base de R^3 (donc formant une famille libre ) tels que :

c'est le premier vecteur propre
c'est le deuxième vecteur propre

Normalement si tu note :



Et en utilisant le fait que on tire
donc en particulier



Bref normalement tu dois avoir v1 vecteur propre ....

Je le fais pour v1 :






Je te laisse te débrouiller pour les autres ... bon courage :happy2:

Une fois que tu les auras trouvé , il faut d'abord vérifier qu'ils forment une famille libre et ta matrice de passage P sera la matrice dont les vecteurs colones sont . En bref tu viens de trigonaliser la matrice . Il faut retenir que la seule valeur propre est la seule racine du polynome annulateur , qui est donc 1 . Mais ta matrice ne peut être diagonalisable car elle serait l'identité dans ce cas .

Si tu rencontre des difficultés tu feras signes ici :happy2:

[cyrillll]

:mur: Merci pour votre aide, l'algèbre me donne du fil à retordre :mur:

je compren pas comment on trouve Av3=v2+v3, je vois bien Av1=v1 car c'est dans une base de vecteur propre que la matrice est la plus simple ?!

ensuite je comprend pas pk on note V1=Ae1 - e1.
je vs remercie

[Daniel-Jackson]

je compren pas comment on trouve Av3=v2+v3, je vois bien Av1=v1 car c'est dans une base de vecteur propre que la matrice est la plus simple ?!

Ba c'est à toi de trouver un vecteur enfonction de qui satisfait à cette condition .
Mais t'as pas vu la trigonalisation et diagonalisation en cours ?

Oui tu as raison dans le cadre de la trigonalisation, on réduit la matrice sous une une forme plus simple dans une base composée en partie de vecteurs propres . Mais dans cette base il ne peut y avoir que de vecteurs propres, autrement la matrice serait diagonalisable.

ensuite je comprend pas pk on note V1=Ae1 - e1.
je vs remercie

Remarque que Ae1 - e1 = (A-Id) e1 ..........qui n'est pas loin de (A-Id)² .....=0 .

En fait il y'a une petite théorie derrière qui permet d'avoir l'intuition ...l'espace R^3 est le noyau de (A-Id) ² , qui est un "noyau itéré" de (A-Id) . En fait quand tu fais la jordanisation , tu le comprends mieux ...