Equation du 3eme degré

[Azuriel]

A quel condition sur p une equation du type x^3 - x² + p =0 à 3 racines réel, (p réel) ?

[steef91]

bonjour quand même

[Azuriel]

Oui cela je l'avais trouver merci. Mais maintenant je n'arrive pas vraiment a trouver une condition sur p pour avoir 3 racine réel..

[yos]

f(0) et f(2/3) de signe contraire.

[Azuriel]

Je ne vois en quoi cela apporte la condition sur p..?

[anima]

Oui cela je l'avais trouver merci. Mais maintenant je n'arrive pas vraiment a trouver une condition sur p pour avoir 3 racine réel..

Je te conseille de lire cette petite documentation sympa sur la formule de Cardan et comment transformer une équation du 3e degré en x^3 et x^2 en du x^3 et x... Qui peut marcher avec Cardan :zen:

[yos]

Je ne vois en quoi cela apporte la condition sur p..?

Il faut peut-être que je te calcule f(0) et f(2/3)?

[Azuriel]

Je vois bien que la derivée s'annule en 0 et 2/3 mais je ne vois pas la condition apparaitre car je ne vois pas trop quel infos sur des racines réel la derivés mapporte.

[yos]

Il y a trois racines réelles si et seulement si f(0)>0 et f(2/3)<0, cela équivaut à 0

[nuage]

Salut,
on peut voir les choses de la façon suivante :
tu as une fonction croissante P sur moins l'infini zéro, décroissante sur zéro deux tiers et croissante sur deux tiers plus l'infini.
Que peut-on dire sur le nombre de racines si P(0)<0 ? Si P(2/3)>0 ?

[modification] je ne tape pas plus vite que mon ombre. Et elle n'est pas rapide :ptdr:

[Azuriel]

Une dans l'intervalle crissant (javais noté decrissant betement) - linfini 0, puis une dans 0 2/3 si f(0) positive et f(2/3) negative puis encore une apres.

[nuage]

précise un peu et tu as la réponse que t'a donné yos.

[Azuriel]

C'est bon j'ai retrouver le resultat. Merci beaucoup. La technique était en plus assez evidente, tres utile, merci.

[allomomo]

Salut,


Quelques exemples : ici

[jahbromo]

Evidemmement il faut voire la methode de Nicolo Fontana .
Par le theoreme des valeurs intermediaire on a une racine reelle.
La condition sur P:
Pose x=(z+1/3) alors tu aura une equation de la forme z^3+bz+a=0. pour que les deux autres racines soient reelles il faut et il suffit que
D= a^2+4/27 b^3 < o ou D= a^2+4/27 b^3 =0.
Alors clairement tu as une condition necessaire et suffissante sur P.$

[fahr451]

Evidemmement il faut voire la methode de Nicolo Fontana .
Par le theoreme des valeurs intermediaire on a une racine reelle.
La condition sur P:
Pose x=(z+1/3) alors tu aura une equation de la forme z^3+bz+a=0. pour que les deux autres racines soient reelles il faut et il suffit que
D= a^2+4/27 b^3 < o ou D= a^2+4/27 b^3 =0.
Alors clairement tu as une condition necessaire et suffissante sur P.$

clairement moi je préfère faire une étude de fonctions en une demi ligne

plutôt que de mettre le polynôme sous forme canonique puis utiliser un résultat ( qu 'il faut somme toute prouver à un moment )

[kinounou]

Bonjour,

Ce qui est important n'est pas le fait que la dérivée s'annule en 0 et en 2/3 mais qu'elle change de signe en ces valeurs et donc cela donne les variations de la fonction f. En calculant f(0) et f(2/3), on voit combien de fois la fonction f va passer par 0 (sachant qu'elle est continue sur R et après calcul des limites en + et - l'infini).