Réseau routier

[pianozik]

Voilà le dessin:

J'aimerais être sûr de la méthode que j'ai suivis pour répondre à la question. pendant que je cherche des olympiades d'entrainement j'ai rencontré ça. Alors les données:
On a 4 maisons situées sur le^s 4 côtés d'un carré, on peut construire un réseau routier qui lie les 4 maisons pourvu qu'il soit le plus court possible sachant qu'on veut avoir un rond-point au milieu.
Ma réponse:
j'ai posé
Pour que le réseau soit le minimum possible, il faut que la sois. Puisque les distances sont positifs, alors, doit être la minimale possible, et , Pour cela, , ,et doivent être alignés, et , , et doivent aussi être aligné, et par conséquent est le point d'intersection des diagonales.
Est-il juste mon raisonnement ?
Merci en avance !

*Edit d'Igor: balise image, ça va plus vite*

[phenomene]

Est-il juste mon raisonnement ?

Non, ou du moins c'est incomplet, car on n'a pas signalé que et atteignaient leur minimum simultanément. C'est ça l'argument essentiel (et non la positivité des distances qui ne joue aucun rôle ici, d'ailleurs, le point qui minimise minimise aussi qui n'est pas forcément positif).

Dans le même genre, on pourrait dire que est minimum lorsque est sur le segment , donc est sur le segment . De même, est minimum lorsque est sur le segment , donc est sur le segment . C'est bien entendu absurde, ces deux conditions ne pouvant être réalisées simultanément.

[pianozik]

Dans le même genre, on pourrait dire que est minimum lorsque est sur le segment , donc est sur le segment . De même, est minimum lorsque est sur le segment , donc est sur le segment . C'est bien entendu absurde, ces deux conditions ne pouvant être réalisées simultanément.

La méthode que j'ai utilisé me parait logique, si on traite , on doit forcément avoir du seguement , cependant, est minimale si le triangle est isocèle.
Ce que je veux vous dire que pour chaque méthode on a un certain nombre de propriétés. Peut être cet example que je vais vous donner est juste. Si vous voulez partir d'un point A vers C en passant par B, étant le somet d'un triangle quelconque, d'une vitesse v, alors ça a duré t par contre, c'est loin que pour aller de A vers C de la même vitesse v le temps sera le même t.

[phenomene]

La méthode que j'ai utilisé me parait logique, si on traite , on doit forcément avoir du seguement , cependant, est minimale si le triangle est isocèle.

Non, je maintiens que est minimale pour situé sur le segment . Si n'est pas situé sur ce segment, on a , c'est l'inégalité triangulaire.
De toute façon, je ne vois pas pourquoi l'on n'aurait pas la même propriété en changeant seulement les numéros des indices !
Le problème est que pour situé sur le segment , la quantité devient trop grande, mais c'est une autre histoire...

Pour formaliser un peu plus le problème, on a une fonction exprimant la somme en fonction du point situé dans le carré. On a avec fonction exprimant la somme et exprimant la somme .
Supposons que atteigne son minimum en un point et que atteigne son minimum en un point . Eh bien, on ne peut rien en déduire sur le minimum de en général ! Par contre, si de plus on a , ce point commun en lequel sont atteints les minima de et est également celui en lequel est atteint le minimum de .
C'est pour cela que le raisonnement astucieux consistant à découper en et marche, alors qu'un découpage en et ne permettrait d'obtenir aucune conclusion !

[pianozik]

je sais très bien que ça se fait par la relation triangulaire, mais je pense pas que la méthode que j'ai faite est fausse !!!

[phenomene]

Et pourtant, elle est incorrecte, comme je te l'ai expliqué par deux fois... Bien sûr, tu as eu l'idée astucieuse qui consiste à séparer en deux sommes et , mais ta rédaction de la preuve est incorrecte. Je pense qu'il est inutile que j'explique pourquoi une troisième fois ! :hum:

Voici un exemple de rédaction correcte.

La quantité atteint son minimum en n'importe quel point du segment (attention, on ne peut pas affirmer à ce stade que le point minimisant est situé sur ce segment, c'est là l'erreur que tu commets). De même, la quantité atteint son minimum en n'importe quel point du segment . Or, ces deux segments se coupent en un unique point, l'intersection des diagonales du carré. Ce point minimise ainsi à la fois les quantités et , il minimise donc leur somme . Ainsi, le point recherché est le centre du carré (intersection de ses diagonales).

Ce sera mon dernier mot ! :lol2:

[pianozik]

Le point représente le rond point, c'est pour cette raison que j'ai gardé qu'un seul O et non pas plusieurs, j'ai brulé des étapes que je savais, voilà, moi je croyais que ça serait clair la raison pour laquelle j'ai demandé la confirmation de l'idée et sur ma feuille de brouillon tout est clair. De plus, j'avoue que je devais tout mettre, voilà. Juste le faite de dire que les points , ,et doivent être alignés et , , et doivent l'être aussi refléte mon intention, car dans ce cas O n'est pas forcément au milieu, et la même chose pour la deuxième suggestion, donc pour la réalisation, devient le centre du carré:we:

[phenomene]

Le point représente le rond point

J'ai bien compris, il le représente aussi dans mes messages.

c'est pour cette raison que j'ai gardé qu'un seul O et non pas plusieurs, j'ai brulé des étapes que je savais, voilà, moi je croyais que ça serait clair la raison pour laquelle j'ai demandé la confirmation de l'idée et sur ma feuille de brouillon tout est clair.

Dans ton message ici, tu n'as pas brûlé d'étape mais annoncé quelque chose de faux (, et doivent être alignés), en invoquant un argument faux (la positivité d'une distance).
Alors, manifestement, meme si tu as eu l'idée essentielle, cela n'était pas du tout clair pour toi. Les mathématiques, c'est une histoire de rigueur et de précision ! Même si l'intuition est importante bien sûr.

De plus, j'avoue que je devais tout mettre, voilà. Juste le faite de dire que les points , ,et doivent être alignés et , , et doivent l'être aussi refléte mon intention

C'est ce qui est faux (ça ne fera que la troisième fois que je le dis). Ce n'est pas parce qu'une fonction atteint son minimum en que les fonctions et doivent atteindre leur minimum en également. Peut-être l'exemple des fonctions numériques et te permettra de comprendre le problème ?

Encore une fois, je peux reprendre ton raisonnement en intervertissant les indices et , ce qui ne change rien à ton argument, et j'en conclus que le rond-point est nécessairement situé sur le segment et sur le segment . Comme ces segments ne se coupent pas, c'est absurde, et ça prouve que ta démonstration est erronée.

Savoir reconnaître ses erreurs, c'est l'attitude de base d'un bon scientifique... (et si j'en ai fait dans mes messages, qu'on me les indique et je les reconnaîtrai volontiers, mais pour le moment, je n'ai lu que des "non j'ai raison" sans argumentation, ou alors une affirmation fausse sur la minimisation de la distance invoquant un triangle isocèle; pour contrer mon affirmation juste selon laquelle un point minimisant la somme de ses distances à et est situé sur le segment ). Dans ces conditions, je ne peux continuer la discussion...