Sur une norme

[kinounou]

Bonjour,

J'ai un petit problème sur une norme:
N_p(f)= Sup{|t^p exp(-abs(t)) f(t)|/t dans R} est bien sûr une norme (pour p entier naturel) sur l'espace des fonctions continues et bornées sur R.
Comment étudier la continuité de P_c: f-> f(c) avec c réel?

[fahr451]

bonjour


pour p = 0 continue

l f(c) l = explcl exp(-lcl) lf(c) l =< explcl N0 (f) donc application explcl lipschitzienne

pour p >0 et c = 0 pas continue

supposons le contraire;
l'application linéaire continue serait lipschitzienne

l f(0)l =< K Np(f)

pour n fixé prenons fn définie par

fn nulle en dehors de [-1,1] ,paire et sur [0,1]
fn(t) = (1-t)^(np)
on aurait
1 =< K sup[ (t^p (1-t)^(np) )exp(-t) ] le sup étant pris sur[0,1]

puis

1=< K sup [( t(1-t)^n ]^p

or h(t)= t(1-t)^n a son max atteint en 1/(n+1) et ce max a(n) tend vers 0 quand n tend vers +infini

on aurait

1=< K a(n)^p et à la limite 1=<0 absurde

et pour c non nul continue car sur tout un voisinage de c t^p exp(-ltl)
ne s 'annule pas