Bon, j'avoue que je n'ai pas tout lu.
Premièrement, j'ai vu quelques mauvaises idées sur la partie entière. La fonction partie entière n'est pas continue et ne le sera jamais. Ce n'est pas parce que on trouve une formulation plus analytique de la partie entière qu'elle en deviendra continue. Bref, il n'est pas plus joli (que je prend ici au sens de plus intrinsèque) de dire que
que de dire que
. Même tout le contraire. L'une des formulations donne l'essence de E alors que l'autre ne donne rien, mais vraiment rien du tout (je n'ai même pas vérifié sa véracité !).
Dans d'autres cas, une expression analytique est agréable. C'est le cas de la fonction max (sur
, of course).
. Cette formulation rensigne beaucoup sur max. Notamment (et c'est beaucoup plus pénible de le montrer sans cette expression), si f, et g sont continues, max(f,g) l'est aussi.
Sur le problème de l'unité.
Une conception intuitive de l'ensemble des réels par du plan (ou de l'espace, ou d'une droite, cela revient au même). Bref d'une vision du monde. Dans cette conception, un réel positif est une distance. J'ai un point A ici, un point B là-bas, une certaine distance les séparent. La distance de A à B est égal à celle entre C et D si en faisant glisser C et D (en ayant bien pris soin de les solidariser) je peux les faire coincider avec A et B. Pour l'addition des distance AB et DC, il suffit d'aligner les points puis de faire coincider B et C, ou B et D. Evidement, on dispose de notions intuitives du parallélisme. De même, on a utilisé la notion (intuitive) d'isométrie. En regardant les couples de points comme des "bipoints" ou comme des translations, on parvient à créer la notion de vecteur. Pour créer l'ensemble des réels au complet, il suffit de prendre les vecteur faits avec les points d'une droite. On remarque ici que l'ensemble des réels positifs n'est pas de la même nature que ce que je viens d'appeler l'ensemble des réel au complet. Mais ce n'est pas grave, le premier se "plonge" facilement (et canoniquement) dans le second.
Toujours pas de "un" dans tout cela. Aucun élément de quoique ce soit n'apparait. Le "zéro" lui est apparu déjà deux fois. La première fois, il était la distance nulle : si la distance entre A et B vaut zéro, alors A et B sont égaux. La deuxième fois c'est avec les vecteur. Le vecteur nul représente la translation nulle, celle qui ne bouge personne. La première fois, le zéro apparait comme une caractérisation de l'égalité, le seconde comme un élément neutre, à savoir l'élement neutre du groupe des translations. L'espace (euclidien du moins
) n'est qu'un continuum isotrope invariant par isométrie, et même par les dilatations. En revanche, l'espace des vecteur à bien un centre : le zéro. Ce n'est pas un élément quelconque, il est reconnaissable entre tous.
Le "un" apparaitrait si l'on arrivait à multiplier les réels. Nous dirions alors que le "un" est l'élément neutre. Mais cela n'est pas possible. L'idée est que on veut obtenir un autre réels en multipliant deux réels. Or si on multiplie par deux toutes les distance (on peut le faire : l'espace est invariant par les dilations), le produit sera multiplié par quatre, ce qui contredit l'invariance par dilatation.
Cette constatation amène à construire un nouvelle ensemble où l'on pourra multiplier. Définissons un réel comme l'ensemble des quadruplets de points (A, B, C, D) tels que les distances AB et CD sont dans le même rapport. Le théorème de Thalès permet de definir facilement si des distances sont dans le même rapport. (NB: le th de Thalès n'est donc ici pas un théorème mais une définition.) Des constructions basées sur le théorème de Thalès permet de multiplier les rapport de longueur. L'addition devient plus subtile, il faut commencer par "mettre au même dénominateur". (Toute cette construction peut être reprise en guise d'exercice, pour les TermS, par ex.)
Nous voici donc avec un troisième ensemble des réels (reéls positif distances, réels comme vecteurs et réels comme rapports de longueurs). Et le "un" apparaît : le un est représenté par l'ensemble des (A,B,C,D) tels que AB = CD. Tout comme le zéro, le "un" apparaît comme un indicateur d'égalité et un élément neutre.
L'idée était forcément la bonne : un longueur est une longueur, mais un rapport de longueur n'a pas de dimension. (On pourrait dire pas d'unité, c'est justement, quand on n'a pas de dimension, on possède un "un".) Donc on peut dilater l'expace comme on le veut, les rapports ne changent pas.
Tout ça pour dire que le "un" est un problème de structure.
Quand on considère les réels comme une espace topologique, il n'y a ni "un" ni "zéro". Quand on les considère comme des vecteurs, le "zéro" et l'addition apparaissent (le zéro apparait avant l'addition : avant de savoir composer les translations, on a déjà remarquer la translation nulle). Et enfin, quand on les considères comme des rapport de distance, on a une strucure d'anneau : le "un" apparait puis la multiplication.
J'espère que cette présentation t'a fait mieux comprendre ce que sont les réels et l'unité. J'espère que tu à compris comment on additionne et on multiplie les réels. (Les lycéens savent souvent balbutier une définition de l'addition avec la géométrie, mais rarement une pour la multiplication, alors que ça peut paraitre un comble de en pas savoir comment est défini a fois b...)
La présentation moderne part d'autres axiomes que ceux de la géométrie euclidienne : on part des nombres entiers, on contruit les relatifs, puis les rationnels, puis les réels, directement avec leur structure d'anneau. Dans ce cas, le un vient directement des entiers. Il a été plongé successivement dans les différents ensembles, de même que le zéro. Et à partir des réels, on construit la géométrie euclidienne. (Mais j'inclinerais à penser que la géométrie ainsi construite n'est pas aussi lisse : il n'est pas facile de construire un plan sans point particulier...)