Composition et commutativité

[manzana]

Bonjour.
Considérant une application f de E vers E, est-il possible de caractériser l’ensemble des applications g telles que fog = gof ?
Cet ensemble contient évidemment l’identité, les applications f, fof, fofof, etc, ainsi que les applications h telles que hoh = f, hohoh = f, etc. Mais cette liste n’est pas exhaustive (facile à vérifier dans le cas de quelques applications f simples), de plus les applications h ont bien souvent l’air d’être difficiles à exprimer.
Par exemple : peut-on exprimer avec des fonctions de référence (ou par d’autres moyens…) une fonction h telle que hoh = exp ? Tout ce qu j’ai pu montrer, c’est que si h est continue, alors elle est strictement croissante avec h(x) strictement compris entre x et exp(x).

[Nightmare]

Bonjour

Pour le premier, il existe une infinité de ces fonctions toutes sous formes différentes, je ne pense pas qu'on puisse caractériser réellement cet ensemble.

pour le deuxiéme je réfléchis.


Jord

[Aldebaran]

Ne suffit-il tout simplement pas que g soit bijective ?

[Anonyme]

si f est une appli bijective, l'ens des g bij tq f°g=g°f est le commutant de f, c'est un sous-gpe du gpe des bijections, quand bien meme on s'est restreint aux bijection cet ens depend fortemt de f donc diff d'en dire quelquechose en general
ds le cas d'applis generales ca doit etre encore pire

les h tq h°...°h=f si f est definie (et a valeurs, c'est forcemtt le mem ens) sur un gpe commutatif sont les "racines n-iemes" de f, dans l'algebre des applis definies et a valeurs ds ce gpe, ca doit rejoindre les theories des entiers algebriques etc.

[Anonyme]

Salut,


Concernant h°h = exp, voilà le code (écrit à la va-vite ;-)) Maple d'une fonction qui fait l'affaire :


exp_n := proc(x,n)
if (n = 0) then x; else exp(exp_n (x,n-1)); fi;
end:

log_n := proc(x,n)
if (n = 0) then x; else log(log_n (x,n-1)); fi;
end:

f := proc (X)
local n, N, a, x;
x := evalf(X);
N := 10;
a := 0.5;
for n from 0 to N do
if (evalf(exp_n(0.0,n)) < x) and (x <= evalf(exp_n(a,n))) then
RETURN (exp_n(log_n(x,n) + a, n));
fi;
if (evalf(exp_n(a,n)) < x) and (x <= evalf(exp_n(0.0,n+1))) then
RETURN (exp_n(log_n(x,n) - a, n+1));
fi;
od;
Error ("Overflow", X);
end:

[Anonyme]

Salut,


Concernant h°h = exp, voilà le code (écrit à la va-vite ) Maple d'une fonction qui fait l'affaire :


exp_n := proc(x,n)
if (n = 0) then x; else exp(exp_n (x,n-1)); fi;
end:

maple fait ca tout seul :
(exp@@n)(x)
pareil pour log
ne pas oublier de foutre des parentheses partout ou on a l'impression que ca risque de gener par ce qu'avec maple de toutes facons ca "gene" tout le tps

par contre j'ai pas bien compris ce que ca faisait ?

[Anonyme]

on peut pt par pt definir a peu pres n'importequelle fct qui marche a condition de faire attention aux pts fixes

si on pose h(x)=1/(1-x) pour x<=0, on peut etendre h de facon automatique grace a la seule condition que h°h=exp (car h(]-infty,0])=]0,1]), et ca colle, enfin je cois, le seul pb c'est qu'elle n'est pas continue

On peut essayer hx)=1/(1-x) +a, la y a un gap qui se cree, a combler par exemple par interpolation lineaire je sais pas si ca marche et si finallemt on aura quelquechose de continu

En tout cas il semblerai que la fct h soit assez arbitraire meme si on la veut continue

On peut aussi essayer un dse de h, la ca a l'air infernal, faut voir, j'ai pas le courage

[Anonyme]

>>>par contre j'ai pas bien compris ce que ca faisait ?


Ben, plot exp(x) - f(f(x)) pour x entre 1 et 10 (par ex.) !

[Anonyme]

bon! je ne suis pas stupide, je suis juste tres arrogant parfois, je m'en excuse. Dire les choses avec une question etait franchemt desobligeant, je suis desolé. ms ca ne marche pas

J'ai recopié au caractere pres (impossible copier/coller: ya pas maple sous linux et les partitions win sont ininscriptibles), j'ai meme copier les fct exp_n et log_n, ca ne marche pas

j'ai decortique le prog, eng ros tu cherche le bon intervalle et tu calcule un truc du genre exp de exp de exp ... de (log de log de log ... de x plus ou moins a), formellemt, ca ne marche pas mieux, ca ne se simplifie pas

[Anonyme]

Re,


>>> je suis juste tres arrogant parfois

Parfois ? ;)


Codé tel que ça ne marche que pour les valeurs > 0 mais il suffit de faire la même chose pour x < 0.


Ca marche, la preuve en image (non justement en texte ...), y'a des arrondis fort comprehensibles vu que je travaille en flottant et vus les nombres impliqués :


for x from 1 by 0.1 to 5 do
printf ("%1.1f \t %02.10f \t %1.10f\n", x, f(x), abs(evalf(f(f(x)) - exp(x))));
od;

1.0 1.6487212710 0.0000000000
1.1 1.8135933980 0.0000000000
1.2 1.9784655250 0.0000000000
1.3 2.1433376520 0.0000000000
1.4 2.3082097790 0.0000000000
1.5 2.4730819060 0.0000000000
1.6 2.6379540330 0.0000000000
1.7 2.8041546530 .0000000050
1.8 2.9794990640 .0000000060
1.9 3.1658078030 .0000000060
2.0 3.3637664690 .0000000070
2.1 3.5741035340 .0000000090
2.2 3.7975930230 .0000000090
2.3 4.0350573590 .0000000100
2.4 4.2873703930 .0000000100
2.5 4.5554606170 0.0000000000
2.6 4.8403145820 0.0000000000
2.7 5.1429805300 0.0000000000
2.8 5.4605823090 .0000000200
2.9 5.7858266100 0.0000000000
3.0 6.1184295190 .0000000200
3.1 6.4583038800 .0000000400
3.2 6.8053664310 .0000000200
3.3 7.1595373930 .0000000500
3.4 7.5207403580 .0000000300
3.5 7.8889019240 .0000000700
3.6 8.2639516160 .0000000700
3.7 8.6458215720 .0000000400
3.8 9.0344464600 .0000000500
3.9 9.4297632660 .0000000500
4.0 9.8317112160 0.0000000000
4.1 10.2402316000 .0000000600
4.2 10.6552676200 .0000000700
4.3 11.0767643700 .0000000700
4.4 11.5046686300 0.0000000000
4.5 11.9389289000 .0000000900
4.6 12.3794951500 .0000002000
4.7 12.8263189300 .0000001000
4.8 13.2793530800 0.0000000000
4.9 13.7385518800 .0000001000
5.0 14.2038708000 .0000003000

[Anonyme]

je me rend cpte que des trucs de ce que j'ai ecrit c'est des conneries qui ne marchent pas non plus

Par contre on peut prouver que si f est une fct:
continue (1),
croissante (2),
de R ds R (3),
injective (4) et
qqsoit x f(x)>x (5)

alors si h est tq h°h=f et si on connait h sur I=]-infty,limite en -inf de f], on peut reconstruire h automatiquemt sur tout R (en utilisant bien sur h°h=f)

Pour ce qui est de definir h continumt sur I, il faut (et suffit je pense) que h soit continue sur I et telle que h(a0)=a0 (ou a0=limite en -inf de f) et qu'elle soit compatible sur I avec la relation h°h=f (*)

le pb est la :
soit x<=a0 (ie x app a I)
quelle peut-etre la valeur de h en x ?

s'il existe x' tq x=h(x') alors d'ap (*), f(x')=h(x) et donc on doit avoir h(x)>a0
sinon x0 n'app pas a h(R) et ds ce cas jsp

peut-etre peut-on imposer que h soit monotone sur I

[Anonyme]

je me rend cpte que des trucs de ce que j'ai ecrit c'est des conneries qui ne marchent pas non plus

Lol

Toi avoir appris français avec Tarzan ?

[manzana]

Le résultat du programme maple est très convainquant, mais je ne suis pas très doué en programmation maple…
Est-ce que tµtµ ou qqn d’autre qui l’aurait compris pourrait m’expliquer le principe mathématique qui est à la base de l’algorithme ? merci.

[Anonyme]

Salut,


C'est tout bête en fait, le plus simple c'est de faire un exemple :

f(1) = exp(1/2) = 1.648721271, e^0 < . <= e^(1/2)
donc
f(f(1)) = exp(ln(exp(1/2))+1/2) = .... = e !


f(2) = exp(exp(ln(2)-1/2)) = 3.363766469, e
donc
f(f(2)) = exp(exp(ln(ln(f(2)))+1/2)) = .... e²


Hope c'est clair maintenant

On partage IR+ en deux parties :

1 .. exp(1/2)
exp(1) .. exp(exp(1/2))
exp(exp(1)) .. exp(exp(exp(1/2)))
exp(exp(exp(1))) .. exp(exp(exp(exp(1/2))))
exp(exp(exp(exp(1)))) .. exp(exp(exp(exp(exp(1/2)))))
.......
où l'on prend exp(exp(...(log(log(x)..)) + 1/2))))

et

exp(1/2) .. exp(1)
exp(exp(1/2)) .. exp(exp(1))
exp(exp(exp(1/2))) .. exp(exp(exp(1)))
exp(exp(exp(exp(1/2)))) .. exp(exp(exp(exp(1))))
....
où l'on prend exp(exp(...(log(log(x)..)) - 1/2))))


et on s'arrange par que f envoie un x de la partie 1 vers la partie 2 et réciproquement et le tour est joué, 1/2 et -1/2 s'annihile.

[Anonyme]

Lol

Toi avoir appris français avec Tarzan ?

va te faire foutre