1).

etant un entier naturel , different de zero , on envisage la fonction

de la variable reelle

definie sur

par
=x+\frac{x^2}{2} +\frac{x^3}{3} +...+\frac{x^n}{n} +\ln |x-1|)
a)Montrer que, pour tout

different de

, on a
Etudier le sens de variation de

( on distinguera les cas

pair et

impair ).
Montrer que la fonction

est monotone sur l'intervalle

et etudier les limites de

aux bornes de cet intervalle .
b)Faire l'etude complete des fonctions

et

.
Tracer leurs representations graphiques respectives

et

sur des feuilles distinctes.
2.On envisage le suite
)
,

, definie par :

a)Montrer que

est l'integrale d'une fonction constante par morceaux majorant la fonction
=\frac{1}{t})
sur

Etablir que
1)
, on a :
>v_n+\ln (x-1))
.
En deduire que , pour tout

fixé strictement superieur a

, on a :
=+\infty)
4.a) Montrer que :
>v_n-\ln (n))
En deduire que
)
est strictement positif.
b) Montrer qu'il existe un reel

unique , strictement compris entre

et

, pour lequel
=0)
Verifier ce resultat sur

et

.
5.a) Expliquer pourquoi on a pour tout

,
et pour

,
=\int_{\alpha_n}^{x} \frac{t^n}{t-1}\mathrm \, dt)
.
b) Montrer que :
|=\int_{-1}^{0} \frac{(-t)^n}{1-t}\mathrm \, dt)
.
Montrer que pour tout entier naturel

different de zero , on a :
^n}{1-t}\mathrm \, dt \leq \int_{-1}^{0} (-t)^n \mathrm \, dt)
puis que :
| \leq \frac{1}{n+1})
En deduire que la suite
))
,

, est convergente et donner sa limite