Distribution de nombres

[aurel_debutant]

Salut les matheux

j'ai une question pour les plus balaises d'entre vous :

Soit 2 entiers naturels n1 et n2
Soit la suite ordonnée Vn représentant l'ensemble {x*n1+y*n2, x et y entiers naturels} telle que V(n+1) > V(n).
Question : exprimer simplement (polynome, fonctions trigo etc ...) la suite Vn en fonction de n.
merci !

[Nightmare]

Bonjour

Moi je veux bien mais ton ensemble ne contient pas n alors bon ...

Si tu pouvais énoncer plus clairement l'exercice ...


Jord

[Chimerade]

Salut les matheux

j'ai une question pour les plus balaises d'entre vous :

Soit 2 entiers naturels n1 et n2
Soit la suite ordonnée Vn représentant l'ensemble {x*n1+y*n2, x et y entiers naturels} telle que V(n+1) > V(n).
Question : exprimer simplement (polynome, fonctions trigo etc ...) la suite Vn en fonction de n.
merci !

Es-tu sûr que x et y sont les entiers naturels ?
La question est d'importance car si on les astreint seulement à être des entiers relatifs, alors la solution est très simple : , si p est le PGCD de et .

Si au contraire il s'agit bien des entiers naturels, pour n supérieur à un certain minimum m, on aura , et chercher d'une part la valeur de m, d'autre part, ce qui se passe pour n inférieur à m est une autre paire de manches.

Donc, merci de répondre à ma question

[aurel_debutant]

ce sont bien des entiers naturels. Tu peux me donner la démo de ton résultat ? merci !!

[Chimerade]

ce sont bien des entiers naturels. Tu peux me donner la démo de ton résultat ? merci !!

Comme je l'ai dit, si ce sont des entiers naturels, c'est plus difficile. Je t'explique d'abord ma démarche dans le cas où l'on accepte les entiers relatifs.

La théorie des idéaux nous enseigne que l'ensemble des nombres s'écrivant x*n1+y*n2 (x et y entiers relatifs donc) est identique à l'ensemble des produits de leur PGCD par les éléments de Z (l'ensemble des entiers relatifs).

Pour simplifier, ramenons nous au cas où les nombres sont premiers entre eux.
Soit P le PGCD de n1 et n2. Alors il existe deux entiers n1' et n2' tels que n1=P*n1' et n2=P*n2', et tout nombre de la forme x*n1+y*n2 est de la forme P * (x*n1'+y*n2' ). Je me contente donc d'étudier les nombres de la forme x*n1'+y*n2' avec n1' et n2' premiers entre eux.

Le théorème de Bachet de Méziriac (et non de Bezout) dit que, si n1' et n2' sont premiers entre eux (c'est désormais le cas donc) il existe a et b entiers relatifs tels que :

a*n1'+b*n2 = 1

De là on déduit immédiatement que quel que soit l'entier relatif K on peut trouver c et d tel que :

c*n1' + d* n2' = K

...car il suffit de tout multiplier par K :

(K*a) * n1' + (K*b) * n2' = K

donc on n'a qu'à choisir c=Ka et d=Kb. Il est donc clair que si on admet que a et b parmi les entiers relatifs, tout entier relatif K peut être écrit sous la forme c*n1'+d*n2'.
Revenant à l'équation de départ : tout entier relatif K*P (tous les multiples de P) peut (peuvent) être écrit(s) sous la forme c*n1+d*n2. Ranger tous les c*n1+d*n2 positifs ou nuls en ordre croissant, revient donc à ranger tous les multiples de P positifs ou nuls en ordre croissant. Si , . Evidemment, ça se corse si l'on exige en plus que les c et d soient choisis parmi les entiers naturels.

Mais les solutions de l'équation : x*n1'+y*n2'=K sont multiples. En soustrayant l'égalité c*n1' + d* n2' = K, on obtient :

(x-c)*n1'+(y-d)*n2'=0

...dont les solutions évidentes sont : x-c=m*n2' et y-d=-m*n1' avec m entier relatif quelconque. Il en résulte que les solutions de l'équation : x*n1'+y*n2'=K sont données par les formules :

x = c + m * n2'
y = d - m * n1'

Si l'on observe les différentes valeurs possibles de ce couple (x,y) à mesure que l'on fait varier m, on constate que x varie de moins l'infini à plus l'infini, lorsque m varie de moins l'infini à plus l'infini, alors que de son côté y varie de plus l'infini à moins l'infini. Toute la question est "dans quel cas y aura-t-il certaines valeurs de m (en fait "au moins une") pour lesquelles x et y seront tous deux positifs ou nuls ?"

Exemple : n1=3, n2=7

1*7-2*3=1

Les solutions de x*7+y*3=1 sont : x=1+3m, y=-2-7m

Supposons que l'on cherche comment obtenir K=59, avec (x*7+y*3) ; en multipliant l'égalité ci-dessus par 59 on trouve :

59*7-118*3=59

Toutes les solutions de l'équation x*7+y*3=59 peuvent être écrites de la manière suivante :

x=59+3m, y=-118-7m

m=0 x=59, y=-118 y est négatif, ça ne va pas !
m=-1 x=53 y =-115 y est négatif, ça ne va pas !
...
m=-16 x=59-48=11 y = -118+116=-2 y est négatif, ça ne va pas !
m=-17 x=59-51=8 y = -118+119=1 Ca y est : x est positif et y aussi

8*7 + 1*3 = 59

m=-18 x=59-54=5 y = -118+126=8

5*7+8*3=59

m=-19 x=59-57=2 y = -118+133=15
2*7+15*3=59
m=-20 x=59-60=-1 y = -118+140=22 x est devenu négatif, il faut rejeter désormais les solutions. Ainsi, notre problème n'a que trois solutions en entiers naturels. Mais il suffit d'en avoir une seule pour notre problème de départ.

Par contre, pour les petites valeurs de K, il peut arriver qu'il n'existe pas de couples x,y tous deux positifs ou nuls, qui vérifient l'équation x*7+y*3=K
Prenons tout simplement la valeur K=1. On a vu que les solutions étaient :

x=1+3m
y=-2-7m

m=0 x=1, y=-2
m=1 x=4, y=-9
y reste négatif et décroit, inutile d'aller plus loin. Essayons alors dans l'autre sens :
m=-1 : x=-2 y=5
On voit que là, y est devenu positif, mais x est désormais négatif. Il n'existe pas de couple x,y entiers naturels tels que x*7+y*3=1 !

Je n'ai pas étudié le problème plus loin. Cependant, je subodore qu'à partir d'une valeur assez grande de K, il y aura toujours quelques couples (x,y) entiers naturels qui répondront à la question, par conséquent dans la liste d'éléments 7x+3y si K est assez grand, tu trouveras K. Mais il est clair que certaines valeurs de K manqueront, dans les petites valeurs. Ce sont ces valeurs manquantes qu'il n'est pas évident de dénombrer. Enfin, faut voir...