Problème de produit constant

[Haexyrus]

Bonjour,

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(O, i, j) un repère orthonormé du plan; A(2,1); B(4,3), C(0,3) et D(-4,-1)
1) Montrer que (AB) et (CD) sont parallèles
2) Trouver la nature du triangle ABC puis calculer son aire
3) Soit M un point variable de (CD), on désigne par H le projeté orthogonal de B sur (AM). Montrer que le produit BH*AM est constant
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Dans cet exos, j'ai fait 1) et 2), mais j'ai pas réussi à trouver comment répondre à 3), j'espère que vous pourriez m'aider.
Voici ce que j'ai trouvé:

1) (AB) // (CD) comme leurs vecteurs directeurs sont colinéaires

2) ABC rectangle et isocèle en A comme:
AB^2 = 8
AC^2 = 8
BC^2 = 16

Aire de ABC : (AB*AC)/2 = 4

Merci d'avance

[rene38]

Bonjour

Calcule l'aire du triangle ABM de 2 façons :
- en prenant comme base [AM]
- en prenant comme base [AB]
et en n'oubliant pas que (AB)//(CD).

[Haexyrus]

En prenant [AM] comme base, l'aire serait (BH*AM)/2
Mais comment faire en prenant [AB] comme base ? y faudrait une hauteur, non ?

[rene38]

En prenant [AM] comme base, l'aire serait (BH*AM)/2
Mais comment faire en prenant [AB] comme base ? yIl faudrait une hauteur, non ?

Sur une figure, place différents (2 ou 3) points M et regarde à quoi correspondent les hauteurs relatives à [AB].

[Haexyrus]

Ah je vois, l'hauteur correspondant à [AB] est la distance entre les deux droites, et comme elles sont parallèles alors cette distance reste invariable quand M varie, c'est ça ?

[rene38]

C'est exactement ça : et le produit de AB (constant) par cette distance (constante) est donc constant d'où la réponse.

[Haexyrus]

Merci bien :)

Sinon, heu, je viens de tomber sur un autre problème:

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Soit (O, i, j) un repère orthonormé du plan; D: (m-1)x + (2m-3)y - 1 = 0 (m un réel)
Déterminer m pour que vecteur(v) de composantes (4, 5) soit un vecteur directeur de D
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J'ai travaillé comme suit:

soit le vecteur u(3-2m, m-1) vecteur directeur de D.

on a v(4, 5) vecteur directeur de D
donc u et v colinèaires => u = K.v (K un réel)

J'ai alors fais un système avec les composantes des deux vecteurs, et j'ai trouvé m=19/14, mais je suis pas trop sur, qu'est ce que vous en dites ?

Merci d'avance

[rene38]

Je suis d'accord.

[Haexyrus]

Okay, c'est bon, merci à nouveau :D

Mes révisions pour demain sont fini, il ne me reste qu'à bien m'en sortir demain au contrôle, souhaitez moi bonne chance :D